— 230 
II. Veniamo ora a considerare il caso in cui sia il rapporto 
M . M 
— = p, rn. ossia ~ 
= o (mod. m) , 
e distinguiamo quattro casi speciali e cioè 1° m—p numero primo, 2° m=p l o 2 
potenza di un numero primo, o il doppio della stessa, 3° m — 2 X potenza di 
2 superiore alla seconda, 4° ni — a K bP cz. . . . numero composto qualunque 
dave a, b , c, indicano i fattori primi assoluti , a, /3, y numeri interi. 
M 
1° Caso m—p numeroprimo. Sarà — — p. p. La funzione che si cerca 
può essere o ciclica composta, o altra qualunque fuori che ciclica semplice. 
Esaminiamo le condizioni perchè sia ciclica composta. 
Abbiamo veduto che , se p. esprime il numero delle funzioni cicliche 
semplici , che formano una fuuzione ciclica composta , e z la ragione co- 
stante degli intervalli con cui si succedono le lettere in ciascuna ciclica sem- 
plice , le condizioni , perchè la funzione data sia ciclica composta, sono rac- 
chiuse nelle due congruenze 
z ? = n (mod. m) n x = 1 (mod. m), 
dove n indica il prodotto degli intervalli m v m 2 , w 3 . . . . di ciascuna ciclica 
semplice ; queste due congruenze , conducono all’ altra z* x =; 1 (mod. m), e 
M 
quindi ~ == p. x m. 
Ora indicando con n il numero dei numeri inferiori e primi ad m, sarà 
o un divisore di n, o uguale a n o primo con n; o avrà con esso un fat- 
tore commune qualunque. 
Sarà in questo caso 
M 
— = p. a: m = pxp , 
e n p — 1 . Adunque, se p. = p — I sarà x — 1 e la funzione cercata è 
ciclica composta di p — 1 funzioni semplici , le cui lettere hanno gli espo- 
nenti tutti diversi fra loro , e si succedono in ogni termine di ciascuna fun- 
zione ciclica semplice con intervalli uguali ad uno dei numeri da 1 fino a p — i . 
Che se 
P— I 
