se ^ è intero, la funzione cercata sarà ciclica composta di fi fun-zioni cicli- 
che semplici : le cui lettere si succedono con intervalli, dati dalle fi potenze 
di i , ed hanno in ogni termine x',x",x'" esponenti uguali fra loro, (essendo 
1. 2 ... x' X 1. 2 ... x" x t . 2 ... x" — x) se x si può risolvere in un pro- 
dotto della forma : 
1.2...j'xl.2...i"xl.2... x'" . 
E come si possa ciò verificare si mostrerà più sotto. Quando queste condizioni 
non siano verificata, la proposta non sarà ciclica composta, come neppure può 
essere funzione ciclica composta se fi x è primo con p — 1, mentre in questo 
caso la congruenza z^ x = 1 (mod. p) non può avere alcuna soluzione in nu- 
meri interi, essendo p un numero primo: Se il prodotto ux ha solo un fat- 
tore commune 9 con p — 1, ne segue che la congruenza di condizione n x = I 
(mod. p) non ha che 9 radici, o soluzioni intere; e quindi x dovrà essere 
uguale a 9, perchè la funzione cercata sia ciclica composta e dippiù dovrà x 
essere, come si disse dissopra uguale a 
1 . 2. 3 . . . x' x 1. 2. x" X 1 . 2 . . . x X . . , 
e in caso contrario non può essere ciclica composta. 
2. ° Caso m = p x o 2 p l . Come si può facilmente conoscere dalla teo- 
rica dei numeri e specialmente da quella delle congruenze, i cni moduli sono 
potenze di un numero primo, o doppio delle potenze dello stesso, confron- 
tandola con quanto si è detto nel caso superiore , le stesse conseguenze , e 
le stesse deduzioni hanno luogo anche in questo caso. 
3. ° Caso in cui m = 2* sarà allora n = 2 X=M ; sarà pure 
M 
px. m — ~ = r . 2* , 
e quindi le congruenze di condizione 
z?* = n (mod. 2 X ) n x = 1 (mod. 2*), 
S epe impari, allora la concruenza z^ = n (mod. 2 ; ) ha una sola solu- 
zione, la quale si determina, indicando con q = 2p l’esponente a cui appar- 
partiene il numero n, per mezzo della congruenza 
pi tj = 1 (mod. 2 p) z = n r (mod. 2 ; ), 
e quindi x = 2 p. In questo caso adunque la funzione cercata sarà ciclica coni- 
