mentre soddisfatte queste, anche la prima è soddisfatta, perchè i numeri a*,ò^,cy, 
come abbiamo mostrato disopra, sono primi fra loro. 
Risolute queste congruenze noi otteniamo espressioni dalla forma 
z = p (mod. a K ), z = p”' mod. c y ) . . . 
e il problema è quindi ricondotto a quest’ altro : « Determinare un numero, 
* il quale diviso per altri numeri dati , dia residui già determinati » che si 
sa risolvere. 
Sia n' il numero dei valori p', n", di p" n'" di p'" . . . sarà allora il 
prodotto n' n" n'" ... il numero delle combinazioni diverse dei residui 
p', p", p'", ed anche il numero delle soluzioni della congruenza z^ — n (mod. m.) 
Fra tutte queste soluzioni si ammetteranno solo quelle che soddisfano al- 
l’altra congruenza 
n x = 1 (mod. m), 
avvertendo inoltre che x deve avere la forma 
1. 2. 3. . . . x' X 1. 2. 3. x" X . . . 
Ci rimarebbe ora ad esaminare come si possa soddisfare a questa ultima con- 
dizione, ma siccome si tratta di ciò, nel caso che la funzione cercata abbia 
una forma qualunque diversa delle precedenti, così nel dare il metodo di ri- 
solvere quel caso, risolveremo anche questo. 
111. Veniamo ora a considerare le funzioni non cicliche, e premettiamo 
alcune osservazioni. Se m è un numero primo e N >■ 2 dovrà neccessaria- 
mente essere 
N = 0 (mod. m) 
per le raggioni addotte nel Teorema III: in qualunque altra ipotesi non vi è 
soluzione possibile. 
Se poi m è un numero composto, e si abbia N >> 2 non potrà N essere 
un numero primo; perchè N non può essere un numero primo inferiore ad m 
pel teorema IV ; non può esser neppure un numero primo superiore ad m , 
perchè N deve dividere il prodotto 1.2. 3. • . m, pel teorema di Lagrange; 
non può contenere per fattore alcun numero primo superiore ad m per la 
