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stessa ragione, dunque N deve risultare dal prodotto di parecchi numeri primi 
inferiori ad m. 
Ciò posto, supponiamo che i numeri dati 
N, e 1. 2. 3. . . . (m — 1) m = M, 
siano risoluti nel prodotto dei diversi loro fattori primi 
P i> Pv P 3 • * * P” 
disposti, come sopra, in ordine progressivo di grandezza. In questa ipotesi, si 
abbia 
(a) M = Pl x P*2P\ • • rr- 2 P x r-iPV 
(Ò) N = p X \ pf p W 3 . . p *' r - 2 PrP'. 
11 Problema sarà risoluto se si trovano le condizioni necessarie e sufficienti 
per soddisfare all’equazione 
77i(m — 1 )(m — 2) ... 3. 2. 1 ^ 
1.2.3.... xx 1.2.3... n X 1.2.2 X ... ’ 
ovvero 
= 1. 2. 3 . . . x X 1.2.3.J/ x 1. 2. 3 . . . z X ... 
e questa uguaglianza per le equazioni superiori (a), ( b ) si trasforma nell’altra. 
(c) 
M _ , 
— =pp >p 2 * * p 3 
1. 2. 3 ... x X 1. 2. 3 . 
V ~ V ' • • • P^'r-2 V 
. . y X 1. 2. 3 . . 
x—xl 
. 2 
PrP P 
X . . . 
Perchè sia possibile questa equazione è necessario, che il primo membro 
contenga, in primo luogo tutti i numeri primi inferiori a p r , mentre in caso con- 
trario non sarebbe possibile uguagliare il primo membro al secondo , che è 
formato dal prodotto dei numeri naturali da 1 fino ad x, y,z y . . . e che 
dovendo contenere p r , dovrà anche contenere tutti i numeri inferiori a p r . e 
quindi anche tutti i numeri primi assoluti inferiori a p r . Nè ciò è sufficiente, 
ma dovrà il primo membro contenere tutti i numeri primi inferiori a p r tante 
volte, quante volte ciascuno è fattore nel prodotto della serie dei numeri na- 
turali da 1 a p r . Ma il numero primo p iy per esempio, nella suddetta serie 
entra, come fattore, un numero di volte espresso dalla formola 
