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Knist Sommerfeldt. 
hierdurch in die Lage l)elördert werden. Nunmehr möge um B* 
2 Tl 
durch den Winkel — - gedreht werden und dadurch A nach A' ge- 
langen. Construirt man den Schnittpunkt C der auf AA' und BB' 
errichteten Mittelsenkrechten, so geht die resultirende Drehungsaxe 
durch C und liegt natürlich ebenfalls normal zur Zeichnungs- 
ebene. Nun behaupte ich, dass aus Yiola’s Axiom folgt; Die 
Periode einer k r y s t a 1 1 o gr a p h i s c h e n Symmetrie- 
a X e ist der E c k e n z a h 1 eines regulären n - E c k s 
gleich, bei welchem sowohl d e r G e n t r i w i n k e 1 a 1 .s 
auch der P o 1 y g o n w i n k e 1 ein aliquoter T h e i 1 \- o n 
3 0()ö ist. 
2 TC 
Wenn nämlich BAB' — (wo n eine ganze Zahl ist) so. 
folgt aus der Gleichschenkligkeit des Dreiecks AGB' dass Winkel AGB* 
2 7t 
— 2R — . Der doppelte Winkel (nämlich AGA' d. h. der re- 
sultirende Drehungswinkel um G) soll nun dem Axiome Viola’s zufolge 
ein aliquoter Theil von 360 » sein, folglich gilt dasselbe für den Winkel 
2R — Nun kann letztere Grösse als der von zwei benachbarten 
Seiten eines regulären n-Ecks eingeschlossene Winkel betrachtet 
o 
werden, da sich für einen solchen ebenfalls der Werth 2R 
n 
ergiebt. Der auf den Polygonwinkel sich beziehende Theil unserer 
Behauptung ist damit bewiesen, der auf den Gentriwinkel bezügliche 
aber ohne weiteres evident. 
Es ist aber die Forderung, dass in ebenen regulären n-Ecken 
der Gentriwinkel und auch der Polygonwinkel aliquote Theile von 
360^ sind, als die nothwendige und hinreichende Bedingung für die- 
Möglichkeit zu betrachten, die Ebene lückenlos mittels regulärer 
und einander congruenter ATeleoke auszufüllen. Und damit sind 
wir zu dem sehr anschaulichen Resultat gelangt, dass alle diejenigen 
Symmetrieaxen in Viola’s homogenen Phasen unmöglich sind, deren 
Symmetriefiguren durch Aneinanderlegen nicht die Ebene lückenlos 
zu erfüllen gestatten. Es ist aber ein bekanntes Resultat, dass eine 
Ausfüllung der Ebene durch solche reguläre congruente Polygone, 
deren Eckenzahl gleich fünf oder grösser als sechs ist, unmöglich ward. 
Umgekehrt aber können wir auch sagen, durch Viola’s Axiom 
werde nur ein kleiner Theil der möglichen Arten von Homogenität 
beherrscht; denn beschränken wir uns auf das Vorhandensein von 
n-zähligen Symmetrieaxen in nur einer Richtung, so haben wir 
von einer dieser Richtung parallelen Schaar von diskreten Linien 
auszugehen, die solche Abstände von einander haben, dass .sie in 
jeder auf ihnen senkrechten Ebene ein regelmässiges Punktsystem 
bestimmen; jeden solcher Punkte haben wir alsdann seinem 
»natürlichen Fundamentalbereich«, d. h. einem den Symmetriegrad. 
