lieber den Satz eie. 
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n wiedergebendeii regulären n-Eck zuzurechnen (wobei diese con- 
gruenten n-Ecken die Ebene lückenlos überdecken), schliesslich 
haben wir die Grösse dieser n-Ecke nach Null convergirend zu 
denken und so die Translationen inliniterimal werden zu lassen. 
Indessen ist es zwar sehr anschaulich, aber keineswegs nothwendig, 
das Homogene in der eben beschriebenen Weise als Grenzfall des 
Inhomogenen aufzufassen, sondern die von G. Jordan aufgefundenen 
Gruppen mit infiniterimalen Translationen, welche wirklich ver- 
schieden sind von den nur endliche Translationen (normal zur 
Symmetrieaxe) besitzenden existiren in der Mathematik. Daher 
kann nicht etwa, wie Viola zu glauben scheint, ein allgemeinster, 
mit Materie homogen erfüllt gedachter physikalischer Raum 
eine geringere Zahl von Gruppen mit infiniterimalen Transformationen 
zulassen. 
Jedoch kann unsere Annahme didaktische Vortheile bei dem 
Anfangsstudium der Krystallographie bieten, um später durch 
strengere Beweise ersetzt zu werden ; man kann es für einiger- 
massen plausibel erklären, dass die lückenhafte Ausfüllung einer 
senkrecht auf einer Symmetrieaxe stehenden Ebene durch Materie 
eine Ungieichwerthigkeit der von Materie besetzten mit den davon 
freien Partien bedinge und daher der Homogenität widerspreche, 
dass ferner die blosse Vorstellung einer Symmetrieaxe die Idee 
eines, wenn auch noch so kleinen, ihr zugeordneten Bereiches be- 
dinge, innerhalb dessen die Deckbewegungsoperationen der Axe 
sich bethätigen, dass diese Bereiche die Gestalt regelmässiger 
Polygone annehmen und wechselseitig in ihren Kanten und Ecken 
aneinanderstossen und sich dort abgrenzen müssen. Wiederum 
aus didaktischen Gründen, aber auch um eine Bemerkung über die 
Axiome der geometrischen Krystallographie damit zu verbinden, 
möge ein einfacherer Beweis als der aus Viola’s Betrachtung (l. c.) 
folgende, für den bekannten Satz mitgetheilt werden, dass keine 
anderen unter sich congruenten regulären Polygone die Ebene 
lückenlos zu überdecken gestatten, als Drei-, Vier- und Sechsecke, 
ln dem gleichschenkligen Dreieck, welches den Mittelpunkt eines 
beliebigen n-Ecks zur Spitze und die Verbindungslinie zweier be- 
nachbarter Ecken zur Grundlinie hat, beträgt der Winkel an der 
Spitze — 360*^ (wo n eine ganze Zahl ist), die Summe der beiden 
anderen Winkel ist aber gleich dem Polygonwinkel “ 360 (wo v 
I ebenfalls eine ganze Zahl ist); da die Summe aller drei Winkel 180® 
I betragen muss, folgt 
Kur durch folgende Paare ganzer Zahlen kann aber dieser Gleichung 
genügt werden : 
