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Ernst Sommerfeldt. 
n — 3 und v = 6 
n 4 „ V = 4 
n G ,, V -- 3. 
Es scheint mir nun in axiomatischer 1 [insicht nicht ganz 
unwesentlich zu sein, dass dieser Beweis von dem Parallelenaxiom 
Gebrauch macht, dass hingegen bei derjenigen Behandlungsweise 
der geometrischen Krystallographie, die z. B. Th. Liebisch in seinen 
Lehrbüchern gewählt hat, dieser Satz sich unter Zuhülfenahme 
lediglich solcher mathematischer Axiome ergiebt, die der pro- 
jektiven Geometrie angehören (vergl. besonders^ Liebisch, Grund- 
riss der physikal. Kryst., pag. 53). Da sich nun alle Fragen, die mit 
dem Grundgesetz der geometrischen Krystallographie sowie mit der 
Symmetrie der Flächencombinationen l)ei makroskopischen 
Krystallen Zusammenhängen, an dem zugehörigen Flächen-Kanten- 
bündel erledigen lassen und das Grundgesetz der geometrischen 
Krystallograpliie selbst rein projektiven Charakter besitzt (was be- 
sonders aus der Fassung als Zonengesetz oder auch als Gesetz der 
rationalen Doppelverhältnisse hervorgelu), bedarf man in der geo- 
metrischen Krystallographie, solange von der Struktur der Krystalle 
nicht gesprochen wird, keineswegs aller Axiome der euklidischen 
Geometrie, besonders nicht nothwendigerweise des Parallelenaxioms. 
Da es nun einen gewissen — natürlich nur rein mathematischen — 
Beiz besitzt, aus möglichst wenigen Eigenschaften der Dinge 
die übrigen abzuleiten, so würde ich schon aus diesen Gründen 
denjenigen Beweisen unseres Satzes, welchen nur die Axiome der 
projektiven Geometrie und als weiteres Axiom das Grundgesetz der 
geometrischen Krystallographie zu Grunde liegen, den Vorzug geben. 
Anhangsweise sei noch darauf hingewiesen, dass die scheinbar 
widersprechenden Meinungen Viola’s und IIilton’s von unserem 
Standpunkt aus in der einfachsten Weise sich aufklären. Viola 
führt als Stütze für seinen Beweis eine Reihe von Beispielen an 2; 
dieselben sind aber nichts weiteres als einige Rechenbeispiele für 
die längst bekannte Thatsache, dass die Conliguration von Ecken 
und Geraden, welche entsteht durch die lückenlose Ausfüllung der 
unbegrenzt gedachten Ebene mit regulären Polygonen von endlicher 
Ausdehnung, in sich übergeht bei der Aufeinanderfolge einer Drehung 
um den Schwerpunkt eines Polygons durch den Gentriwinkel nebst 
einer um eine Ecke desselben durch den Polygonwinkel (oder Mnl- 
tipla desselben). Aus diesem Grunde ist der resultirende Dreh- 
ungswinkel ein aliquoter Theil von 360®. 
ln der That, benennen wir mit Viola die Zähligkeit der 
Symmetrieaxe mit n, den Gentriwinkel ("~) mit 2a, den bei der 
1 Daneben käme noch die auf pag. V des IvRANTz’schen Kata- 
loges No. 14 (Samml. von 58 Glas-Krystallmodellen) von Th. Liebisch 
gemachte Bemerkung hier in Betracht. 
" ^ C. Viola : Zeitschr. f. Kryst. 36. 153. 1903. 
