Ueber den Satz etc. 
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zweiten Drehung benutzten Multiplikator des Dentriwiid<els mit p, 
den der ersten Drelmng (durch den einfaclien Gentriwinkel) und 
der zweiten Drelmng zusammen ents])rechenden Winkel der resul- 
tirenden Drehung mit 2 und ferner die Anzahl der verschiedenen 
Drehungen, welche bei Ausführung um eine Polygonecke die Gon- 
figuration in sich überführen, mit v, so enthält das folgende Schema 
in der zweiten Golonne sämnitliche von Viola (1. c.) als aliquote 
Theile von 360“ (und — 0) liervorgehobenen Drehungen, in der 
dritten Golonne aber die Angaben, auf welche Deckbewegungen der 
zugehörigen Gonfigurationen diese Drehungen hinauskommen: 
Regul. Dreieck 
n — 3, p — 1 
1. Drehung d. d. Gentriwinkel (120“) 
^ 2 Tl 
2 T„ - 3 - 
2. „ „ „ Polygonwinkel (120“) 
Regul. Viereck 
n 4, p — 1 
1. Drehung d. d. Gentriwinkel (90“) 
2t— — 
2. „ ,, „ Polygonwinkel (90“) 
Regul.Sechseck 
n — 6, p — 2 
1. Drehung d. d. Gentriwinkel (60“) 
2 71 
2 Tp - -g- 
2. „ „ „ Polygon Winkel (120“) 
Auch wird es klar weshalb, wie Hilton hervorhebt, Viola 
den Fall n — 6, p = 1 in seiner Aufzählung fortlassen musste, denn 
wird die Ebene lückenlos mit congruenten regulären Sechsecken 
überdeckt, so geht die Gonfiguration der Ecken (resp. Kanten) bei 
Drehung um eine derselben zum ersten Mal in sich über, falls der 
doppelte Gentriwinkel (welcher dem Polygonwinkel gleich ist) 
nicht aber bereits wenn der einfache Gentriwinkel als Werth für 
den Drehungs Winkel erreicht wird. 
Zusammenfassend können wir sagen: Man bedarf einer 
ganz s p e c i e 1 1 e n Annahme über die bei K r y s t a 1 1 e n 
möglichen Arten von Homogenität, um unseren Satz 
beweisen zu können; besonders einfach ist folgende FormuUrung 
dieser Annahme : Besitzt eine k r y s t a 1 1 i s i r t*e P h a s e eine 
Schaar paralleler S y m m e t r i e a x e n , so m u s s sich 
die Anordnung d e i‘ s e l b e n a u f f a s s e n lassen als 
G r e n z f a 1 1 derjenigen Schaar, welche in den Schwer- 
punkten einer Menge von solchen regulären con- 
gruenten Polygonen, durch welche eine Ebene 
lückenlos überdeckt werden kann, s e n k r e c h t a u f 
derselben construirt wird. 
Indessen ist es möglich unser Problem von einem viel all- 
gemeineren und zwar gruppentheoretischen Standpunkt aus zu be- 
handeln, alsdann lässt sich die in obiger Formulirung enthaltene 
Willkür sehr wesentlich mildern, und es scheint mir, dass ein von 
F. Klein in sehr anschaulicher Form (Vorles. über höhere Geometrie, 
II, p. 306 ff.) gegebener Beweis, den Viola übersehen zu haben 
