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Ernst Soninierfeldt. 
scheint, sich auf Viola’s homogene Medien volllvonimen einwandsfrei 
anwenden lässt. Bekannllicli sind die krystallographischen Symme- 
triebelrachtungen (auch die strukturtheoretischen) durchweg von 
gruppenlheorelischer Art. Z. B. entsprechen die 32 Symmetrie- 
gruppen genau den eigentlich discontinuirlichen und endlichen Sym- 
uietriegruppen welche diejenigen regulären Körper darbieten deren 
Flächen resp. Kanten sich aus vier derselben durch das Zonengesetz 
ableiten lassen. Bei Viola’s homogenen Medien soll nun letzteres 
Gesetz natürlich nicht beim Beweise unseres Satzes postulirt werden, 
ferner haben wir es dort zunächst nicht wie oben mit eigentlich 
discontinuirlichen und endlichen Gruppen zu thun, sondern mit 
sogenannten gemischten Gruppen Denn betrachten wir innerhalb 
eines homogenen Mediums die Gruppe der cc6 möglichen Beweg- 
ungen eines starren Systems, so führt jedenfalls die in derselben 
enthaltene Untergruppe der oc^ Verschiebungen jeden Punkt in 
einen äquivalenten Punkt über ; ausserdem aber können noch aus einer 
endlichen Zahl von Drehungen und Spiegelutjgen sich zusammen- 
setzende Operatiojien existiren, welche jeden Punkt in einen äqui- 
valenten Punkt überführen. Unter diesen werden wir zunächst die 
reinen Drehungen betrachten und die Annahme postuliren; Nur 
d i e j e n i g e n Drehungen um ein festes C e n t r u m, 
welche mit Translationen c o m b i n i r t zu eigentlich 
discontinuirlichen Untergruppen i n n e r li a l b jener 
g e m i s c h t e n D e c k 0 p e r a t i 0 n s g r u p p e n Anlass geben, 
haben k r y s t a 1 1 o g r a p h i s c h e Bedeutung, alle übrigen 
können also l)ei Krystallen als Symmetrieoperationen nicht Vor- 
kommen. 
Der citirte Beweis lehrt nun, es müsse hierzu in dem Falle, 
dass die in Frage kommende Drehungsperiode n beträgt, die Be- 
st tc / 2 i t:\ 2 / 2 i Tzys 
dingung erfüllt sein, dass die n-Grössen 1, e ” , \e " / , \e ^ ) ... 
I 2 i Ttyi — 1 
ve “ / sich linear und ganzzahlig aus 2 llülfsgrössen zusammen- 
setzen lassen. Dieser Bedingung genügen aber die Einheitswurzeln 
nur bei den Fällen n — 2, 3, 4, 6, indem unsere n-Grössen im Falle 
_ 1 V' — 3 
II — 2 gleich -fl und —1, im Falle n — 3 aber 1, ^ > 
— 1 — \ — 8 1 
2 werden, also alsdann linear und ganzzahlig aus ^ und 
■”_r~ sich zusammensetzen lassen. Ini. Falle n 4 erscheinen 
unsere n-Grössen Jil, jfi aus 1 und i, endlich im Falle n = 6 aus 
^ Hierbei sind die Dieder mitzuzählen, sowie alle ausgezeich- 
neten Untergruppen, aus welchen sich die Hauptsymmetriegruppen 
dieser und der eigentlichen ;*egulären Körper aufbauen. 
2 Hinsichtlich der Terminologie schliesse ich mich hier voll- 
kommen an F. Klein an. 
