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Ernst Soiiiniei'reldt. 
^1, Go, eg so gewählt sein, dass sie sich hei den genannten Deck- 
hewegungen pennntiren, also gegen C unter gleichem Winkel geneigt 
sind. Durch die Einheitslläche E denken wir uns auf den Goordi- 
natenaxen die Ihuikte Aj, A2, A3 ahgeschnitten und vom Coordi- 
natennullpunkt 0 aus alle rationalen Multipla von OAj auf ei, von 
OAq auf e-2, von OA3 auf eg abgetragen. Die Endpunkte dieser 
Strecken, welche kurz »Rationnlpnnkte« heissen mögen, bedecken 
die Coordinatenaxen zwar überall dicht, aber dennoch ;)nicht perfekte^ 
Nun drehen wir um G durch den Winkel 120 ®, wodurch ei in Cq, 
62 in eg, C3 in Ci übergeführt werden möge. Wenn nun gleichzeitig 
Al in A2, A2 in A3, A3 in A] übergelit, so ist diese Operation zugleich 
als Deckbewegungsoperation für das dem Gomplex zugehörige 
Kaumgilter aufzufassen, denn dasselbe wird gewonnen durch Gon- 
struktion von drei Schaaren ä(iuidistanter Elienen, deren Abstände 
(längs den Goordinatenaxen gemessen) OAi, OA2, OA3 betragen. 
Für den Gomplex allein (also für das Flächen-Kantenbündel) kann 
aber diese Drehung auch in vielen Fällen, in denen der Bedingung 
OAi : OA2 = ÜA3 nicht genügt wird, eine Deckbewegung herljei- 
führen, denn hierzu ist nur erforderlich, dass diejenige Pdäche, 
welche vor der Drehung durch die Punkte Ai, A2, A3 ging, durch 
die Drehung in eine solche Fläche übergeführt wird, die parallel 
ist einer durch drei Piationalpunkte gellenden Fläche. Sind nun 
A'i, A'2, A'3 diejenigen Stellen auf den Goordinatenaxen, in welche 
die Punkte Ai, A2, A3 durch die Drehungen üliergegangen sind, so 
kann der letztgenannten Forderung auch dann genügt werden, wenn 
keiner der Punkte A'i, A'2, A'g mit einem Rationalpunkte der be- 
treffenden Goordinatenaxen zusammenfällt. Falls aber in einem 
solchen Falle nachträglich die durch A'i, A'2. A'3 gehende Fläche 
so gelegt wird, dass sie statt durch A'i durch irgend einen Rational- 
punkt der Geraden OA'i geht, so muss dieselbe alsdann auch die 
anderen Goordinatenaxen in Ralionalpunkten treffen. Diese Be- 
dingung können wir auch so aussprechen : Wenn die drei 
R a t i 0 n a 1 1 h e i 1 u n g e n in gleichem M a a s s e gestreckt 
werden und zwar derart, dass die erste mit der 
zweiten c 0 n g r u e n t wird, so muss a u c h die z eite 
mit der dritten und die dritte mit dererstencon- 
g r u e n t werden. Demnach ist die Operation , welche der be- 
trachteten Deckbewegung des Gornjilexes gleichkommt, auf das zu- 
gehörige Raumgitter bezogen, aus einer Drehung und Aehnlich- 
keitstransformation des Gitters zusammengesetzt, welche beide 
um 0 als Gentrum erfolgen, und wir gelangen zu dem Resultat: 
Wollte man den Satz, dass zusammengehörige Gornplexe und 
Raumgitter gleiche Symmetrie besitzen, aufrecht erhalten, so- 
müsste man in unserem Falle eine aus einer Drehung und einer 
Aehnlichkeitstransformation des Gitters zusammengesetzte Operation 
als Symmetrieoperation des Raumgitters auffassen. Nun bietet die 
Erfahrung aber bisher keinerlei Stütze dafür, dass die Aehnlichkeits- 
