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Harold Hilton, 
2ns == 2 n a s, 
denn jede dieser Summen ist = 3 V. Folglich ist: 
2 (n — n a ) s = 0. 
Daher ist mit Rücksicht auf: 
m — m a = ai, . . . 
auch 2 a . s = 0. 
Wir beachten nun, dass die drei Normalen a 4 , a 2 , a 3 ausreichen, 
um die Lage des Punktes A gegen den festen Punkt 0 vollständig 
zu bestimmen und dass die übrigen Normalen a 4 , a 5 , . . . mit a 4 , a 2 , 
a 3 durch lineare Beziehungen von der Form: 
a 4 = p 4 a 4 + q 4 a 2 + r 4 a 3 
^5 = Pö + ^5 a 2 + r 5 a 3 
verbunden sind. Nehmen wir an Stelle des Punktes A beliebige 
andere Punkte B, G, D, . . . und bezeichnen wir die den Normalen 
a entsprechenden Normalen mit b, c, d, . . ., so erhalten wir: 
2 b.s = 0, 2 c . s = 0, 2 d . s = 0, 
d. i. eine unbegrenzte Zahl von Relationen, die aber nur drei in d e- 
pendenten Relationen äquivalent sind. Denn wählen wir X, jx, 
v so, dass: 
X a 4 + [x b 4 + v Cl = d 4 
X a 2 ~f* p. b 2 ~j~ v c 2 = d 2 
X a 3 + [x b 3 v c 3 = d 3 
wird, so haben wir: 
d 4 = P 4 d 4 + q 4 d 2 -j- r 4 d 3 
= p 4 (X aj + [i b] 4“ v Ci) + q 4 (X a 2 + p. b 2 -f- v C 2 ) ~f* 
r 4 (X a 3 + [x b 3 + v c 3 ) 
= ^ (Pi a 4 + q 4 a 2 + r 4 a 3 ) -j- H- (P 4 b 4 + q 4 b 2 -f r 4 b 3 ) 4- 
* (p* Ci + q 4 c 2 + r 4 cs) 
= X a 4 -j- p. b 4 -j- v c 4 . 
In analoger Weise wird: 
dö = X a 5 4" F b 3 -j- v c 5 
folglich ist: 
2 d.s l E=X2a.s + ! JL -b.s-f'v2c.s. 
Wir haben also die Relationen: 
2 n d s = 2 . d Y. 
2 k d s = d E. 
v a d s = v ^ C | S _ 2 c d s = 0. 
Ist das Volumen V constant und die Obe r fläche n- 
energie E ein Minimum, so werden hiernach die 
Flächeninhalte s durch die folgenden fünf Gleich- 
ungen und nur durch diese verbunden: 
0 = 2nds=-=2kds = 2ads = 2bds = 2cds. 
Bezeichnen wir jetzt mit a, ß, y, c unbekannte Gonstanten, so 
muss : 
