LA ENSENANZA I)E LAS MATEMATICAS 
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nos? <iA que equivale sen D F H? ciQue resulta por eso para 
D H? dMediante que triangulo habra que espresar a D F? £Por 
que angulo? ^Por que funcion de este angulo? iQue encontramos 
para D F? eQue para D H? ^Que, en fin, para cos (a + /3)?Com- 
parense la formula encontrada con la formula para sen (a + | 8 ). 
eEn que consisten las diferencias esteriores de las dos formulas? 
La estension completa de estas preguntas no es, sin duda, 
necesaria sino para con alumnos atrasados; los demas encon- 
traran de por si algunas partes intermedias del desarrollo. 
Pasando en seguida al desarrollo del seno i coscno de una 
diferencia a — , 8 , el cual puede darse casi con las mismas pala- 
bras que el anterior, el profesor exijira hasta a los alumnos mas 
atrasados quesalten preguntas intermedias, como las siguicntcs: 
<;en que triangulo esta la recta por espresar? ^por que angulo 
puede espresarsela? (ipor que funcion de este angulo? etc., ha- 
ciendo indicar solamente los resultados finales para cada trazo 
en cuestion. Alumnos mas intelijentes daran regularmente todo 
el desarrollo segun lo anteriormente esplicado, i necesitaran, 
a lo sumo, una ayuda para cstablecer la figura. Todos encoh- 
traran que, en este caso, se debe aplicar el angulo CAD = ^ ha- 
cia el interior del angu\oCAB = a, i tambien que se puede 
hacer otra vez AD= i i UdiT^diV D E perpendicularmente 3. A B, 
DF2lAC\AG2lAB (fig. 5 ."^). Pero ahora convendria que el 
profesor impidiera que los alumnos, talvez para armonizar la 
figura con la anterior, trazaran la paralela di G F por F cn lugar 
de trazarla por D. Es verdad que se podria aprovechar tambien 
una paralela trazada por F ^ A B^ pero de tal modo no se al- 
canzaria a conservar la analojia completa verbal de los dos des- 
arrollos. 
Antes de pasar al desarrollo de las tanjentes i cotanjentes de 
(a + / 3 ) i de (a — / 3 ), conviene llamar la atencion de los alumnos 
hacia lo siguiente: queen las figuras 4 .^ i 5 .^se ha tornado como 
suposicion tacita los angulos a, (3, a-f/3 como angulos agudos. 
Queda por averiguar todavia si las formulas valen jeneral- 
mente. Esta averiguacion se convierte, por medio de las figuras 
adecuadas a los demas casos, en una mera repeticion de lo an- 
teriormente dicho, puesto que los desarrollos se conseivan 
miitatis mutandis — casi verbalmente. Resulta de aqui que las 
