LA ENSEXANZA DE LAS MATEMATICAS 
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Puccle preguntarse ahora si no seria conveniente, dadala va- 
lidez jeneral de los desarrollos analiticos, limitarlos desarrollos 
jeometricos esplicados en este parrafo a lo mas necesario. Efec- 
tivamente, pueden obtenerse sin dificultad las formulas para el 
coseno aplicando a las formulas para el seno la relacion cono- 
cida 
cos-AT= I — sen-A' 
Con este procedimiento se tendria la ventaja de no necesitar 
ya una demostracion para la validez jeneral de las formulas para 
cos (a /3), una vez demostrada la jeneralidad de las formulas 
para sen (a =t /3). Pero de ninguna manera debe admitirse que 
se deduzcan de las formulas para las funciones de (a + /3) las 
correspondientes para (a — /8) sustituyendo en aquellas — /8 en lu- 
gar de +/3 i aplicando las formulas para las funciones de angulos 
negativos (i), pues las deducciones de la figuraq.’^ ban sido obte- 
nidas bajo la espresiva suposicion de que /3 es un angulo positi- 
ve. Seria necesario demostrar antes que dichas deducciones valen 
tambicn cuando cs negative; pero esta demostracion se ha da- 
do per medio de la figura 5 .^ para a — /3. Puede decirse que los dos 
desarrollos para a + jS i a — /3 son desarrollos de un solo i mis- 
mo teorema para los dos cases diferentes de que ^ es positive 
o negative. Es esta la razon tambien por que fue posiblc dar 
los dos desarrollos casi en las mismas palabras. 
Claro esta que, despues dehaberdado los desarrollos, se pue- 
de advertir a los alumnos que el resultado de las investigacio- 
nes ha sido tal que una formula debe convertirse en otra corres- 
pondiente, si se reemplaza -\-f3 por — /3. 
Con respecto al desarrollo analitico mas arriba mencionado, 
de las formulas para el coseno, dadas las formulas para el seno, 
creemos que no se debe admitirlo tampoco en la enschanza se- 
cundaria. Partes homojencas de la ensehanza, deben tratarse 
homojeneamente en cuanto posible sea. Esto tiene la ventaja 
de facilitar el trabajo tanto para el profesor como para los 
(i) Este error se encuentra en los Apuntes dc Trigonomctria RcctUinCiJ de 
don Niceforo Stuardo, paj. 37. 
