SOBRE LA ECUACION =Z^ 
Analizando esta ecuacion, observamos primeramente que/i^ 
no pueden tener divisor comun, porque, si tuvieran / i ^ el 
mismo divisor, este estaria contenido tambien, segun (7), en ^ 
i /, i, por cso, segun ( 6 ), en ;ir, ^ lo que hemos escluido de 
antemano. 
Ahora bien, s\ p \ q no tienen divisor comun, no lo pueden 
tener ni p-\rg ni /+2 q tampoco. Supongamos, por cjemplo, 
pj^q — k a 
p-\-2 q = k 13 , 
resultara 
q = k{P-a) 
f = k( 2 a-l 3 ), 
o p \ q tendran el mismo divisor k. 
No teniendo ahora p, q, p-\- q, p-\-2 q divisor comun i siendo4 
un cuadrado, dcbe ser numero cuadrado cada uno de los nu- 
meros 
A q. p3-q,p3-2q, 
segun (8). 
Sc trata de demostrar que los cuatro numeros mencionados 
no pueden ser cuadrados a la vez. 
Supongamos 
p-\-q = a‘^, 
ecuacion en que a es numero impar, por ser p impar i q par. 
Como /> + 2 ^ = <2- i = ^ deben ser numeros cuadra- 
dos, se nos ofrece un medio de espresar q por dos series dife- 
rentes: 
1° a‘^ 3 - q sera un termino de la serie 
(^+i)S (^ + 2)2,... 
que consta de a‘^ i de los cuadrados siguientes. Luego ^esigual 
a la suma de las diferencias entre 2 terminos sucesivos, a saber: 
q — (2 a-\-i)-\-{2 <2:+ 3) + (2 ^+5) + ’°* 
( 9 ) 
