31 6 MEMORIAS CIENTIFICAS I LITERARIAS 
Como ^ i son numeros imparcs, z — x, seran 
numeros pares. Si uno de los numeros ^ — x es divisible 
por 2 i por ninguna potencia mayor de 2, .s'— ;i'o .s'+,r deben 
ser di visibles por 4 = 2^ o por otra potencia mayor de 2. 
Sea, por ejemplo. 
seran 
2 =ziz^, X:=.-^i mod 4? 
.S'— ;t'=2 i .s' + ;i '=0 mod 4 
o bien, ^ — x es solamentc divisible por 2, mientras qne .s' + .r es 
divisible, a lo m.enos, por 2^ =4. 
Por otra parte, si 
seran 
2 =x=zL I mod 4, 
.S'— .r =0 i .s'+.^r=2 mod 4 
En todos los cases sera, ademas, solo divisible por 2 
i por ninguna potencia mayor de 2. Esto se entiende facilmente 
recordando que el cuadrado de cualquier mimero impar deja el 
residue +1, dividiendolo por 8. 
En efecto, si elevamos 
.^ = 4 m ± I 
al cuadrado, resulta - 
.x2 = i6m2 db8m + i = +i mods 
i, por eso. 
.^2 -)-;ir2=2 mod 8 
o, con otros terminos, es solo divisible por la primera 
I^otencia de 2. 
Espuc.^to lo anterior, queda evidente que en tedo caso los 
r.Limeros ,s' + a', — at, 2^ -hx- tienen el divisor comun 2. Restanos 
demostrar que estos numeros no pueden tener otro divisor 
comun. 
