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MEMORIAS CIENTfFICAS I LITERAKIAS 
Estas propiedades, en ultimo analisis, se reducen a las tres 
que tienen su enunciado en las proposicioncs siguientes: 
i.o La suma de numeros dados sieinprs. iiene el mismo valor 
aunqiie se iiivierta el orden de la adicion 
Tenemos que 
a-\-b = b-\-a 
Este teorema no puede ser deducido de nociones mas elemen- 
tales, i por esto hemos de considerarlo como axioma. 
2.® Pat'a smnar tres o mas numeros^ basta formar la suma de un | 
grupo cualquiera de ellos i agregar a esta la suma de otrogrupo j 
z asi sucesivamezite. ! 
! 
i i 
Tenemos, segun esto, la formula: j 
j 
= (<^1 +^2)‘T('^3 +^4 +••• j 
■ i 
= + + ' j 
Este teorema se deduce inmediatamente del teorema anterior. 1 
Como en este sistema de los numeros naturales la multipli- I 
cacion no es mas que una adicion en que los sumandos son 
iguales, los dos teoremas que preceden, subsisten tambien para 
€sta operacion, es decir, tenemos: s 
] 
a . b ::^b .a [ 
a . b . a . {b . c) ~ {a . b) . c ^ {a . c) . b 
i 
De la adicion i multiplicacion, por obedecer a los dos teore- 
mas I.® i 2.0, se dice que son o^QXdiCioncs conmutativ as resp. aso~ 
ciativas. 
El tercer teorema fundamental de este sistema natural re- 
sulta de una combinacion de la multiplicacion con la adicion i 
tiene el enunciado siguiente: 
