ESTUDIOS SOBRE LA TEORfA JEOMETRICA 
409 
3.0 Para multiplicar tina smna por 2in nnmero cualqitiera, basta 
viiiltiplicar cada uno de los suinandos por este m'linero i sumar 
los productos par dales. 
Subsiste, por esto, la formula: 
a . (^b -\-c~\-d+ ...) = ab-\-ac-\- ad 
Por obedccer al teorema 3.®, cste sistcma se llama distribn- 
tivo. 
Estas tres propiedades del sistema primitivo dc los numeros,. 
senaladas por los teoremas 2.° i 3.°, son exactamente aque- 
llas que relacionan las operaciones abstractas del calculo con 
las condiciones concretas de los problemas que nos ofrecen la.s 
ciencias naturales i la practica del comercio. Cada sistema nu- 
merico que satisfacc a las tres condiciones en cuestion, es apli- 
cable tambien a los problemas concretes, i reciprocamente, para 
resolver problemas concretes, es precise usar un sistema nume- 
rico que cumpla con estas tres condiciones. 
El segiindo sistema numerico en que ya figuran numeros arti- 
ficiales o sea de aquellos que deben su orijen a las operaciones 
aritmeticas, i no a la simple accion de contar, comprende todos 
los numeros enteros, positives i negatives. Se hace necesario 
pasar del sistema primitivo a este segundo, si se cxije que la 
sustraccion, operacion inversa a la adicion, sea ejecutable en 
todos los cases. Pues, en el primer sistema, la sustraccion solo 
puede Ilevarse a cabo en el case de que el minuendo sea mayor 
que el sustraendo. Si estos dos numeros contienen igual numero 
de uriidades, el resultado ya no pertenece al sistema natural de 
los numeros, sino que ha de introducirse en el calculo el pri- 
mero de los numeros artificiales que es el cero, para espresar 
este resultado. 
La definicion del 0 esta, pues, contenida en la formula 
<2 — <5: = 0 . 
Si el minuendo es menor que el sustraendo, i si se exije que 
la diferencia sea un numero comprendido todavia en nuestro 
TOMO Lxxxiv 27 
