412 MEMORIAS CIENIIFICAS I LITER ARIAS 
para que los sistemas superiores tengan las misinas pf opiedades 
caracteristicas del sistema primitive. 
Pues si no se siguiera tal procedimiento, los sistemas supe- 
riores no se podrian aplicar a la resolucion de los problemas 
conc^etos; se construirian matematicas cuyas leyes, aunque fun- 
dadas en principios de por si posiblcs i en deducciones lojicas 
admisibles, se diferenciarian tanto mas de las que se establecen 
siguiendo el principio de Hankel, cuanto mas nos internaramos 
en la especulacion matematica. Las matematicas ya no serian 
el ausiliar poderoso de la esperiencia como las apreciamos, sino 
un juego futil de la imajinacion, sin utilidad alguna. 
Para que la division ~ sea ejecutable tambien en el caso de 
que a no es un multiplo de es preciso pa-sar al tercer sistema 
numerico que comprende, ademas de los numeros enteros, posi- 
tivos i negativos, las fracciones racionales. Para conseguir .este 
fin, es preciso introducir en el calculo la nueva nocion nume- 
rica siendo b un numero entero cualquiera, ~ es el nu- 
mero que multiplicado por b da i. De consiguiente, multi- 
plicando por <2, resulta En la naturaleza no existen tam- 
poco los numeros fraccionarios, i en cuanto ^ ellos subsiste, en 
jeneral, lo mismo que hemos espuesto arriba hablando de los 
numeros negativos. 
No nos proponemos aqui desarrollar todas las reglas sobre 
las cuatro primeras operaciones ejecutadas con fracciones racio- 
nalcs, porque se encuentran sentadas en todo texto de aritme- 
tica; pero nos permitimos agregar algunas palabras sobre las 
particularidades de este tercer sistema. 
Llamase perfecto un sistema numerico, si todas las operacio* 
nes ejecutadas con numeros comprendidos en este sistema, dan 
por rcsultado numeros del mismo sistema. Segun esta defini- 
cion, ni cl sistema natural ni el segundo son perfectos, pues 
proponiendo, por ejemplo, en el primer sistema la sustraccion 
5 — 8, nos resulta —3, niimcro que es estrano a este sistema, 
J^ero el sistema de los numeros racionales es perfecto, si limita- 
mos cl calculo a las cuatro primeras operaciones aritmdticas, 
