4f4 MEMORIAS CIENTIFICAS I LITERARIAS 
quiera,.cl numero de ellas puede ser mui grande tambien. De ahi 
se desprende una diferencia mui notable entre este sistema i los 
dos anteriores. Entre dos cantidades del tercer sistema hai 
siempre un numero infinito de cantidades que pertenecen al 
mismo sistema, mientras en los dos primeros sistemas dos can- 
tidades estan separadas por un numero determinado de valores 
del mismo sistema. 
Las operaciones aljebraicas de la elevacion a potencia i las 
dos inversas a ella, la estraccion de raiz i la operacion loga- 
ritrnica, nos imponen la necesidad de introducir dos nuevas es- 
pecies de numeros, los irracionales i los complejos. Ocupemo- 
nos, por ahora, de los primeros que, con los numeros racionales 
forman el sistema de los 7iiimeros reales. Podria motivarse la 
introduccion de los numeros irracionales por el desideratum de 
ver comprendidos en nuestro sistema numerico todos los nume- 
ros que satisfacen a las ecuaciones aljebraicas de coeficientes 
enteros (i). Pues es evidente que al menos algunas de las raices 
de la ecuacion 
— 82 — 288.r— 47 = 0 
ban de ser numeros irracionales. Pero esta manera de motivar 
la introduccion de los numeros irracionales en el calculo, da lu- 
gar a dudas, pues no se sabe si todos los numeros irracionales 
son raices de ecuaciones aljebraicas, o si acaso existen cantida- 
des que no se pueden representar como raices de ecuaciones al* 
(i) Observese lo que dice, a este respecto, Felix Klein, eminente mate- 
matico de la Universidad de Gottingen i representante de la jeometria pro- 
yectivaen Alemania (Mathematische Annalen, Bd. XXXVII, 4. Heft., J890): 
(ilndudable que el motivo para introducir numeros irracionales en el calculo, 
es la aparente continuidad del espacio. Pero, como yo no atribuyo ninguna 
exactitud a las ideas que se tienen sobre el espacio, no puedo tampoco de- 
ducir de ahi la existencia de lo irracional. Al contrario, la teoria de las irra- 
cionalidades, segun mi criterio, debe fundarse sobre ideas esclusivamente 
aritmeiicas, teoria que, gracias a los axiomas, aplicamos, en seguida, a la 
jeometria para conseguir, tambien en esta disciplina, aquella exactitud de las 
discusiones que es la condicion primordial de las deducciones matematicas.)) 
En un estudio posterior que tratara sobre los fundamentos de la jeome- 
tria proyectiva i an-euclidiana, tendremos que ocuparnos detalladamente 
de estas i otras ideas del profesor citado. 
