ESrUDIOS SOBRE LA TEORIA JEOMETRICA 
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jebraicas de cocficientes enteros. En efecto, hace apenas dos 
decenios que un matematico frances (i) trato de demostrar que 
el numero ^ = 2,7182818... no puede ser la raiz de una ecuacion 
aljebraica. La demostracion que nos ha dado este sabio notable^ 
es algo cornplicada, i no es facil decidir si sus conclusiones son 
del todo exactas o no. Por esto parcce mas conveniente fiindar 
la introduccion de los numeros irracionales en la necesidad en 
que nos vemos de poseer un sistema contmuo de numeros para 
poder describir completamente los fenomenos que se nos pre- 
sentan en la naturaleza, pues hemos visto que el sistema de los 
numeros racionales no satisface a esta condicion. Como, en este 
modo de ver, el numero irracional es un valor comprendido cn- 
tre dos fracciones racionales consecutivas (2), se desprenden 
luego los dos proccdimientos para determinar los valores de las 
cantidades irracionales. No sera posible evaluar cstos numeros 
por medio de proccdimientos finitos, aun cuando se pueda dar- 
les, por medio de la denotacion aljebraica, una forma concisa, 
como sucede, por ejemplo, con los valores ^ 2 ^ log 3, etc. Los nu- 
meros irracionales debcn ser considerados como los limites de 
series indefinidas de numeros racionales, ya sea que se en- 
cuentren siempre entre numeros racionales pareados cuya difc- 
(1) Hermite, Sur la fonction exponeniielle. Paris, 1874. 
(2) El lector no dejara de imponerse de una aparente contradiccion con- 
tenida en esta definicion. Antes se ha demostrado que entre dos fracciones 
racionales, por mas proximos que sean sus valores uno al otro, siempre se 
encuentra un numero indefinido de fracciones racionales, de manera que 
seria imposible determinar dos fracciones racionales separadas por un solo 
valor, o sea dos fracciones consecutivas. El inconveniente con que tropeza- 
mos en esta ocasion, se esplica de un modo sencillo. Hemos sentado que 
todo valor racional es representado por un punto de una linea recta. Ahora, 
por mas que continuemos la division de una linea recta, nunca, por este 
procedimiento, llegamos a determinar un punto, sino que siempre tendre- 
nios un elemento infinitamente pequeno de la linea. Asi, como en jeometria 
se dice que una linea recta se enjendra por el movimiento de un punto, en 
aljebra debe decirse que la serie continua de los numeros reales trae su ori- 
jen de la variacion continua i en un mismo sentido de unacantidad. El ine- 
todo analitico que hemos seguido en nuestra esposicion, naturalmente debe 
conducirnos a la contradiccion antes observada: para esplicar la nocioii 
continua, es precise seguir un metodo sintetico. 
