ESTUDIOS SOBRE LA TEDRIA JEOMETRICA 
419 
1. a Dos numeros pareados se suman, sumando aisladamente 
sus partes, o sea 
2 . ^ La multiplicacion de dos numeros pareados se efectua se- 
gun la formula siguiente; 
{a, b) b^)~{aa^ —bb^, ab^ b) 
3 . ^ Un numero pareado es igual a cero, si sus dos partes 
lo son: 
( 0 , 0 ) = 0 . 
Para demostrar que cualquier sistema de numeros pareados 
que satisface a estas tres reglas, obedece tambien a las tres le- 
yes formales del sistema primitivo, basta hacer ver que las tres 
formulas anteriores se reducen a las que subsisten para el sis- 
tema real, si en ellas se pone ^ = 0 , ^^ = 0 ; i que un producto de 
dos numeros pareados no puede ser igual a cero sino en el caso 
de que lo sea uno de sus factores. 
La primera parte de lo que nos proponemos demostrar es evi- 
dente, pues {a, 0) = a i (a, b) no puede ser igual a {by a), porque, 
de otro modo, los numeros de la forma {a, b) serian simples su- 
mas o productos de numeros reales. 
Para demostrar la segunda parte, supongamos que {a, b) i 
{a-^^y b^) sean dos numeros pareados cuyo producto es igual. 
Tenemos entonces: 
{a, b ) . {a^y b^) = 0 
Pero, segun la segunda de nuestras reglas, debe ser: 
{ay b) . {a j^y b^ = {aa^ —bb^yab^+a^ b). 
Combinando estas dos formulas, deducimos 
{aa-^ — hb^yab^yab^-\-a^b) = Oy 
j 
