ESTUDiOS SOBRE LA TEORIA JEOMETRICA 605 
Los tres puntos que representan estos valores, estan situados 
sobre una circunferencia del radio ^2 i son los vertices de un 
triangulo equilatero inscrito en ella. 
Reunimos todas las consideraciones anteriores en el teo- 
rcma: 
Las 71 raices de 7in iiumero complejo son representados por los n 
vertices de un poHgoyw regular de n lados, inscrito en una circun- 
n 
ferencia que tiene por radio la del 77i6dido del numero coi7i- 
plejo. 
En este teorema vemos comprendidos tambien los numeros 
reales e imajinarios. Para comprobar esto, basta escribir el nu- 
mero real i positivo r en la forma 
r (cos 0 + / sen 0 ) 
Entonces la formula 
, /— / 2 k IT . 2 k 7c\ 
=-Vr(cos™+.sen — j 
k = o, 1,2, 2 n — I, 
2n 
nos da los 2 valores de la ^ r. En aljebra elemental se ense- 
iia que toda raiz par de un numero positivo tiene dos valores 
reales iguales, el uno positivo i el otro negativo. La formula an- 
terior nos manifiesta que estos dos valores corresponden dik = o 
i k~n. La figura 5 .^ de la lamina 2 .^ nos da la disposicion de 
los valores en el caso de que n—^. 
Del mismo modo se deduce que las raices pares de los nume- 
ros negativos no tienen ningun valor real (lam, 2 .^, fig. 6 .^). To- 
dos sus valores son complejos en el caso de que n es numero 
par; si 71 es impar, hai dos valores imajinarios entre ellas. Pues 
— r se puede escribir en la forma 
r (cos 7 T -f- f sen tt), 
