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MEMORIAS CIENTfFICAS I LITERARIAS 
base real e i de esponente imajinario i (p, se puede escribir baja 
la forma de la serie infinita: 
I 1.2 
+ 
1.2.3 
cuyo valor es cos (p + i sen 0. Ahora bien, demos por sentada la 
definicion siguiente: Entiendese por potencia de la base real e 
z del esponente complejo el valor del producto de la po- 
tencia e^ por la e'^^, o sea 
e = e . e 
A'2 
1.2 
+ . 
14. iz+lizl: 
I 1.2 
Cada uno de los factores del ultimo producto es una serie in- 
definida que converje incondicionalmente (l), puesto que la se- 
rie formada por los modulos de los terminos de cada una es 
converjente. Luego, segun un teorema conocido del analisis infi- 
nitesimal, el producto de las dos series es igual al producto de 
los valores representados por ellas, es decir: 
x-\-iy X , 
e -^ = e (co,s_y + 2 sen 
Resulta de ahi que la funcion esponencial es tambien de la 
forma de un numero complejo. Por lo demas, es facil demostrar 
(i) Di’cese que una serie infinita converje incondicionalmente, si converje la 
serie formada por los valores absolutes de los terminos. Cuando la serie es 
compleja, es necesario ademas que las partes real e imajinaria converjan se- 
paradamente. (Vease Dirichlet,. Abhandlungen der Berliner Akademie, 1837;: 
Cauchy, Cours d’analyse algebrique, Scheibner, Gratulationsschrift, etc.) 
En nuestro caso, es necesario que la converjencia de las dos series sea 
incondicional, puesto que las series infinitas que no Henan esta condicion 
no j)Lieden emplearse en el calculo por no obedecer ellas al teorema funda- 
mental de la adicion, de que el orden de los sumandos no altere el valor de 
la suma En comprobacion de esto, basta llamar la atencion hacia el ejem- 
1>1<; (jue nos ofrece la serie 
“^=1 — 2 4-^ — l:4-i + 
que cs converjente, pero no incondicionalmente, sino solo bajo la condicion 
