ESTUDIOS SOBRE LA TEORIA JEOMETRICA 
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debe buscarse en consideraciones jeometricas i en la ampliacion 
de nuestras ideas sobre el espacio. La teoria de los numeros 
complejos de la forma a-{-ib^ habia sido aplicada con gran 
ventaja a la jcometria plana, i sc trataba de encontrar sistemas 
de numeros superiores que desempenaran igual papel en la jeo- 
metria de tres dimcnsiones, necesidad que se hacia sentir tanto 
mas cuanto que la jeometria proyectiva progresaba en el sen- 
tido de la an-euclidiana. I, en efecto, las tres unidades 
de los numeros cuaternos de Hamilton significan unidades apli- 
cadas sobre tres ejes ortogonales que parten de un punto 0 , i, de 
una manera analoga, se esplican tambien las unidades de los nu- 
meros alternos de Grassmann, a pesar de que este los haya usado 
preferentemente para dcsarrollar la teoria de las determinantes. 
Nos reservamos para otra ocasion hacer un estudio compa- 
rativo entre la aplicacion de los numeros complejos i de los 
numeros cuaternos i alternos a la jeometria; por ahora nos con- 
tentamos con haber hecho una indicacion sobre el orijen de 
estos numeros. Ademas de esto, es evidente que la introduccion 
de los numeros superiores no ha obedecido a una necesidad 
imprescindible, puesto que se acaba de demostrar que el sistema 
jeneral de los numeros complejos es perfecto, pero, por el otra 
lado, es tambien evidente que nada nos impide construir siste- 
mas superiores de propiedades cualesquiera i operar con el los, 
i que la aplicacion que estos numeros, sobre todo los cuaternos, 
han encontrado en la jeometria proyectiva i en mecanica, justi- 
fica su introduccion i demiiestra su utilidad. 
Debiendo estos sistemas su orijen a fines determinados, sus 
leyes naturalmente debian conformarse con lo que se habia pro- 
puesto conseguir, I es caracteristico para aquellos sistemas que 
todos han suprimido una propiedad fundamental de nuestro 
sistema jeneral, la de ser conmutativo, mientras han conservado 
la de ser asociativo i, por lo mas, tambien la de ser distributi- 
vo (i). Atribuyo este hecho a la circunstancia de que todos 
estension, etc., 1844. Vease ademas: A. Cayley, on multiple aljebra. Quar- 
terly Journal of Mathematics, 1887. 
Schroder: Sobre los elemenlos formales del aljebra absoluta, 1874. 
(i) En el sistema de Scheffler la lei distributiva a {b-\-c')=ab-\-ac no sub- 
siste en todos los casos. 
