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MEMORIAS CIENTIFICAS I LITERARIAS 
los matematicos que se proponian dar mas ensanche a rmestro 
sistema de numeros, haciendo mas^ facil su aplicacion a la jeo- 
mctria moderna, tropezaban con la dificultad que prcsenta cl 
undecimo axioma de Euclides que dice que dos rectas se cortan 
por aquel lado en que la suma de dos angulos opuestos por el 
vertice es menor que dos angulos rectos. Segun este axioma 
dcben distinguirse los productos de dos rectos, segun que ellas 
comprendan un angulo agudo u obtuso lo que trae la conse- 
cuencia de que la multiplicacion no puede ser una operacion 
conmutativa, si se la quiere aplicar a esta clase de investiga- 
ciones. De manera que, siendo q i dos numeros pertene- 
cientes a uno de estos sistemas, tencmos que no es igual 
^q^. q. 
Esta propiedad de la multiplicacion de no ser conmutativa, 
se estiende tambien a los productos de las unidades que se 
adoptan, i de ahi se desprende que, al construir un sistema se- 
mejante, es arbitrario si se quiere conservar la propiedad de 
nuestro sistema jeneral de ser perfecto o no. En efecto, deno- 
tando por , las tres unidades de un numero x -\-y + 
+ ^^.3, la multiplicacion de dos de estos numeros produce el 
resultado siguiente: 
{xe^ -\rye^_ +ze^) (.f, +^i 
Aliora bicn, no es igual a. e.^e^ , \ podemos fijar arbitraria- 
mente que = —e^ sea igual a una de las unidades , 
e., , , o no. Verernos que el sistema de los numeros cuaternos 
cs perfecto, mientras que los numeros de Grassmann no consti- 
tuyen un sistema de esta naturaleza. 
Se comprende que un aljebra que se funda en semejantes 
principios, debe tener teoremas mui diferentes de los del aljebra 
comun, i para no perdernos en jeneralidades, vamos a dar un 
r-jcmplo para cada uno de los dos sistemas en cuestion, el de 
Hamilton i el de Grassmann. 
