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MEMORIAS CIENTfFICAS I LITERARIAS 
profesor F. Klein, da el ejemplo siguiente de un teorema alje- 
braico del sistema de los numeros cuaternos: Tenemos 
— —y^ +/. 2 w x-\-j . 2 wy-\-k . 2 wz 
i — 3 — 3 ^ 2 ) 
+ 2 . ^(3 w‘^ —x^ —y^ —z^) 
-{-j . y — x^ —y^ —z^) 
. z —x^ —y^ —z"^) 
Ahora bien, multiplicando el numero cuaterno Q por 3 w‘^ 
-x^—y^-^z^ i restando de este producto la espresion 2 w. 
x^ -{-y^ + z^ , tenemos la relacion: 
(3 —x^ —y^—z^) .0 — 2 w(w^ +x^ +y^ +<s’^) = . 
Esta formula nos dice que todo numero cuaterno satisface a 
una ecuacion del tercer grado que tiene dos coeficientes que son 
funciones de las mismas cuatro cantidades w y x , y , z de que 
depende el numero Q. De ahi se deduce que un numero infi- 
nito de valores de Q satisfacen a esta ecuacion, o en otros ter- 
minos: en el sistema de los nlinieros cuaternoSy una ecuacion del 
tercer grado tiene un numero infinito de raices. 
Este teorema, aparentemente paradojal, efectivamente no lo 
puede ser, puesto que la multiplicacion de numeros cuaternos 
carece de la propiedad fundamental de ser conmutativa. 
La teoria de los numeros de Grassmann, publicada en 1844, 
ha quedado desconocida casi completamente hasta mediados del 
8.'^ decenio de este siglo, de manera que, a pesar de los grandes 
elojios dispensados a esta obra por Grauss, Grunert i Moebius, 
este ultimo pudo escribir en 1853 "que Bretschneider de Gotha 
era el unico matem^tico que le habia asegurado haber leido 
toda la obra de Grassmann (i). 
(i) Karl Fink, Geschichte der Elementar-Mathematik, Tuebinguen, 
1 890. 
