DIE 
DETERMINANTEN 
HÖHEREN RANGES 
UND 
IHRE VERWENDUNG ZUR BILDUNG VON INVARIANTEN. 
VON 
GUSTAV v. ES CH ERICH. 
VORGGUHGT [N D KR SITZUNG DER MATH E MA TISCH -NA TUR \V ISSENSCHAFTI/tCHEN CHASSE AM 22. APRIL 1880. 
ln einem kleinen, interessanten Aufsätze, betitelt: „Über eine Erweiterung des Begriffes der Determinanten“ 
untersucht Zehfuss gewisse analytische Gebilde, die nach ähnlichen Regeln aus Elementen mit mehr als zwei 
Indioes zusammengesetzt wurden, wie die Determinanten, aus denen mit zwei Indices. Die Lectüre dieser 
Broschüre voran hisste mich, diese Gebilde, welche Zehfuss Determinanten höheren Ranges nennt, einer ein- 
gehenderen Betrachtung zu unterwerfen und insbesondere ihren, bisher mehr geahnten als erkannten, Bezügen 
zur Invariantentheorie nachzuspüren. Bei der überraschenden Einfachheit, welche die Theorie der Determi- 
nanten durch die eombinatorische Multiplication erlangt, lag der Gedanke nahe, nach einer analytischen 
Definition dieser Determinanten höheren Ranges zu suchen, welche auch sie den Methoden der Ausdehnungs- 
lehre unterwirft . 1 Diese Definition erwies sich wirklich fruchtbringend, indem sie nicht nur die ganze Theorie 
dieser Gebilde unmittelbar offen legte, sondern auch, geradezu ungesucht, eine Reihe invarianter Bildungen 
lieferte. Dieselben sind, wie ich gleich hier erwähnen will, nicht Idos bei Functionen mit einer Reihe, sondern 
auch mit mehreren Reihen Variablen, die aber alle denselben beiden Classen dualistischer Variablen entnommen, 
ohne übrigens denselben oder nur transponirten Transformationen unterworfen sein zu müssen, anwendbar, 
gehören also zu jenen Bildungen, die seit ihrem Auftreten in der Theorie der Connexe unsere Aufmerksamkeit 
in immer höherem Grade fesseln dürften. Durch zweckmässige Wahl gewisser Grössen kann man aus ihnen 
auch Invarianten mit Reihen verschiedenartiger Variablen ableiten. Bei Beschränkung auf Functionen mit nur 
1 Dasselbe gilt für die Theorie der zusammengesetzten Determinanten und die Bemerkung Borchardt’s (Journal für 
Mathem. Bd. LXXXIX, p. 82) veranlasst mich schon jetzt zur Mittheilung, dass mittelst der Methoden der Ausdehnungslehre 
die Vorwürfe Sylvester’« (ibidem, Bd. LXXXVIII, p. 49) sich fast spielend bewältigen lassen. Ich bin auf diesem Wege 
bald nach Bekanntmachung dieser Abhandlung zu den richtigen Resultaten gelaugt, und werde sie gelegentlich zum Gegen- 
stand einer Arbeit machen. 
Denkschriften der mathem. »naturw. 01. XLIII. Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. 
