Die Determinanten höheren Ranges und ihre Verwendung zur Bildung von Invarianten. 3 
Der Coöfficient wird also aus 
Ä 
(d 
i, i.. .1 
4", 
.2 
Ä {n) 
m , m . . . m 
gebildet , indem man die gleichstelligen unteren Indiens auf alle möglichen Weisen mit einander vertauscht 
und jedes dieser Glieder je nachdem es aus dem ursprünglichen durch eine gerade oder ungerade Anzahl von 
Vertauschungen hervorging, mit dem positiven oder negativen Zeichen versieht. 
Der so gewonnene Ausdruck ist also eine Determinante (m l)ten Ranges und wter Ordnung und 
soll mit 
bezeichnet werden. 
2(»+d A 
(i) 
i . i ... i 
AW AM 
2, 2. . .2 n, w. • .n 
II. 
1. Den beiden früheren Bemerkungen kann man jetzt die Fassung geben: 
Die Determinante verschwindet, wenn eine Reihe gleichstelliger unterer Indices einer zweiten gleich 
ist, und sie ändert ihr Zeichen, sobald man in ihr zwei Indices zweier unteren Reihen mit einander ver- 
tauscht. 
Vertauscht man hingegen zwei obere Indices, so zeigt (2), dass sich jedes Glied um den Factor ( — l) m 
ändert, und es ändert sich somit die ganze Determinante durch Vertauschung zweier oberen Indices um diesen 
Factor. Es verschwinden daher und blos die Determinanten geraden Ranges, wenn in ihnen zwei obere Indices 
gleich sind. 
Aus der Form des Productes (1) folgt, dass, wenn die Elemente irgendeiner Reihe mit demselben oberen 
Index aus einer gleichen Anzahl Summanden bestehen, die Determinante in eine Summe eben so vieler Deter- 
minanten gleichen Ranges und gleicher Ordnung sich zerlegen lässt. 
2. Lässt man das Product (1) dadurch entstehen, dass man zunächst die g ersten Gruppen der le 
mit demselben oberen Index alle Werthe von 1 bis n durchlaufen lässt, so ist offenbar der Coefti- 
cient von 
- (i) ui 
", V 
Ji) 
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( 2 ) 
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a t) ad 
2 n 1 
tg) (g) („) l (H-d (*+d {)+'■) («*) (*») («) 
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2 2 n 12 n 
eine Determinante (</— i— l)ten Ranges und «ter Ordnung. Aus derselben erhält man die ursprüngliche Determi- 
nante »den Ranges, indem man nunmehr den k der übrigen (n — g) Gruppen die Werthe von 1 bis n in allen 
möglichen Vertauschungen beilegt. Hiedurch geht aber aus der Determinante (^-t-ljten Ranges eine Summe 
von («!)“— o solcher Determinanten hervor. 
Für den Fall g — 1 ergibt sich hieraus, dass jede Determinante (w)ten Ranges einer Summe von 
(«!)”»-' quadratischen Determinanten gleich ist, deren Summanden aus 
v , Ad ,(*) M 
*(*)...*(») ^2, *( 2 ). ..*<»*) ■■■ A n , »t 2 ).,.*« 
i 1 2 2 n n 
erhalten werden, indem man den Gruppen der k mit demselben oberen Index die Permutationen der Zahlen 
1 bis n in allen möglichen Anordnungen beilegt. 
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