Die Determinanten höheren Ranges und ihre Verwendung zur Bildung von Invarianten. 5 
Entwickelt man min jede der Gruppe, in welche man die Factoren des Productes (1) getheilt lmt, nach 
diesem Satze und beachtet, dass bei der weiteren Multiplication dieser Gruppen nur jene Glieder nicht ver- 
schwinden, in welchen alle a von einander verschieden sind, so hat man das Analogon des La Place’schen 
Satzes für diese Determinanten. 
IV. 
Gehören die n einfachen von einander unabhängigen Grössen b i) l, t . . .b„ dem Systeme der »dl, a\ l) ...a 1 '' 
an, so sind die a aus den h numerisch ableitbar und es soll diese Abhängigkeit durch die Relationen 
®*i2 ^2~^~ * * 
. — i Ci | n b n 
*2 = . ■ 
• -h&i n bn 
«l' ) = «<H + • 
. -\-a nn h n 
ausgedrückt werden. Da das Product [ad> = 2+«!, 
*^22 * * * 
h V 
■ ■ £„], so lehrt die Substitution 
in das Product (1) eine Determinante höheren Ranges mit einer quadratischen multipliciren. Die Elemente der 
Productdeterminante erhält man aus ihrem allgemeinen Gliede 
rdr-) y . (0 
*(*>...*(») — Z 
1 :l *(i) I 1 1 
«*d)x 
wo Äj 1 ) alle Werthe von 1 bis n durchläuft. 
Umgekehrt: Haben die Elemente einer Determinante (m-t-l)ten Ranges die obige Form, so ist die Deter- 
minante das Product: 
2 zt a i 
1 “22 ' 
'T+4'> 
( 2 ) 
II... 1 ^ 22 . 
.. . A 
n 
n , n-.-n 
Nach der Darstellung der quadratischen Determinanten als combinatorisches Product bedarf es keiner 
Erläuterung, dass das Product von m quadratischen Determinanten wten Grades auch als eine Determinante 
(wH-l)ten Ranges und «ter Ordnung aufgefasst werden kann. Ist umgekehrt 
so ist die Determinante gleich 
.(X) « ff) ff) 
Ä X & ( 2 ) K X /d™) 
X , X X X X X 
a 
(i) 
ü 
a 
(«) 
22 
2 (1) 
a (M) 
* - 1 I ^09 
. a 
(?«) 
nn 
V. 
Anwendung zur Bildung von Invarianten. 
Um invariante Bildungen mittelst der Determinanten höheren Ranges zu erhalten, hat man offenbar die 
Elemente der Determinante blos so zu wählen, dass die a irgend einer Gruppe durch dieselben Relationen in 
n neue extensive Grössen iibergeführt werden, durch welche die ursprünglichen Variablen in die neuen trans- 
formirt werden. Dies kann auf mehrfache Weise bewerkstelligt werden. 
