Die Determinanten höheren Ranges und ihre Verwendung zur Bildung von Invarianten. 9 
Sind die beiden Formen /und y identisch, so müssen nach (II) alle Determinanten (&-t-l)ten Ranges 
( 4 + 1 ) 
für ein ungerades k verschwinden, was vollständig damit tibereinstimmt, dass alle ungeraden Überschiebungen 
einer Form über sich selbst identisch Null sind. 
Schiebt man über eine Überschiebung wieder eine Form, so stellt sieb die neue Überschiebung abermals, 
wie man sich leicht überzeugt, als ein Aggregat von Determinanten höheren Ranges dar. Da nun jede 
Covariantc binärer Formen als ein Aggregat von Überschiebungen, so ist sie auch als ein Aggregat von Deter- 
minanten höheren Ranges darstellbar. 
Mittelst der angegebenen Methoden lassen sich fast alle bisher bekannten Invarianten, Covarianten, zu- 
gehörigen Formen und Zwischenformen ableiten. 
Um zugehörige Formen und Zwischenformen zu erhalten, hat man blos in der angegebenen Weise in- 
variante Bildungen aus dem um die Form 
U \ x % “ 1 - • • •~ >r ~ U n X n 
vergrösserten Systeme herzustellen. Bezeichnet so z. B. f eine kubische ternäre form und 
U — ( u x x t -+- -+- u 3 a? 3 ) , 
so ist, abgesehen von dem Factor — 
(») 
y 
( ^ Z ).33 
nichts Anderes als die von Aronhod und Clebsch mit 0 bezeichnte Zwischenform, und man erhält sie 
durch Entwickelung nach den Elementen von U in der Gestalt 
8 *f 
8 V 
8 */ 
8 x\ 
8 x { dx x 
8ic 3 
8 */ 
8 */ 
8 7 
Baij 8» 2 
8 x \ 
8 x 3 8a; 3 
8*/ 
8 */ 
8*/ 
8 x t 3 x 3 
SiCj 8a; 3 
8 a;* 
Uy 
u % 
U 3 
0 
Aus 
f und 0 erhält man durch 
U — f— U^X^ “j— WjjiZJg 
s ±/n e« 
die Zwischenform Q bei Clebsch und Gordan. 
Durch Combi nation von 0 und ü kann man eine zugehörige Form 4ten Grades in den Coefficienten von 
f und 6ten Grades nach u ableiten. Dieselbe wird dargestellt durch 
^ i: G** ( ü*)„ , 
wo überall die unteren Indices 1, 2, 3 Differentiationen nach den Variablen £U 3 bedeuten. 
Denkschriften der mathem.-naturw. öl. XLIlI.Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. 
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