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Leopold Gegenbauer. 
Da die Determinanten höheren Ranges nicht nur an sich höchst interessant, sondern auch hei vielen Pro- 
blemen der neueren Algebra und Geometrie eine nicht unwichtige Rolle zu spielen berufen sind, so will ich 
in den folgenden Zeilen eine Reihe von Sätzen aus der Theorie derselben auf einem höchst einfachen Wege 
entwickeln. 
Man bilde alle verschiedenen Produete von je n Elementen dieses Systems in der Weise, dass niemals 
haben, ordne die Factoren eines jeden Productes so, dass die ersten Indiens in natürlicher Ordnung auf ein- 
ander folgen. Jedes System correspondirender Indices ist alsdann eine Permutation der Grössen 1, 2,..., n, 
welche entweder der Gruppe jener Permutationen angehört, die die zweiwerthigen Functionen ungeändert 
lassen, oder nicht. Ist die Anzahl der Permutationen der zweiten Art, welche in den verschiedenen Systemen 
correspondirender Indices irgend eines Productes auftreten, gerade, so versehe man dieses Product mit dem 
positiven, ist dieselbe ungerade, so versehe man dasselbe mit dem negativen Zeichen. Die algebraische Summe 
dieser Produete ist eine Determinante rater Ordnung und mten Ranges. 
Die Anzahl der Factoren eines jeden Productes bestimmt also die Ordnung; die Anzahl der Indices jedes 
einzelnen Elementes des Systems den Rang der Determinante. 
Eine solche Determinante /der Ordnung und w.ten Ranges der n m Elemente a, , , , a. , 
I , 1 , . . . , I / \ ' l. I , . . . , o / 
bezeichnet werden. 
Der gegebenen Definition einer solchen allgemeinen Determinante zufolge hat man also die Gleichung: 
Es wäre für die x nach der oben gegebenen Definition eigentlich noch die Bedingung 
° [). rj. \ / 
hinzuzufügen, da jedoch jedesmal, wenn zwei x, welche denselben untern, aber verschiedene obere Indices 
summiren. Für Determinanten zweiten Ranges hat zuerst Herr Kroneckcr diese Snmmendarstellung ver- 
wendet. 
Die Anzahl aller Glieder einer solchen Determinante ist, wie man sofort sieht, («!)»«— i und von diesen 
Aus der eben aufgeschricbencn Definitionsgleichung 1) geben sofort folgende »Sätze hervor: 
Jede Determinante geraden Ranges ändert ihr Zeichen, wenn man zwei derselben Indexreihe angehörige 
Indices in allen Gliedern mit einander vertauscht, wenn man also für die Elemente 
Es sei gegeben ein System von n m Grössen a 
soll, analog der von Herrn Krön eck er für quadratische Determinanten eingeführten 
(m) 
Bezeichnungsweise, mit: 
1) 
= 1,2 r > s) 
haben — das positive und v ' das negative Vorzeichen. 
die Elemente 
^ I ) j • ■ • > — 1 > t ^'7'— |— 1 > t . . Km 
