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Über Determinanten höheren 
X 1 > Xg > • • • f ir — I , (J-r , ir f 1, . - . , X m 
|Ä| , iU, . . ., A r j ; ... } Am = 1, 2, . . ., », A,. 
' K 
setzt. 
Jede Determinante ungeraden Ranges ändert ihr Zeichen, wenn man zwei derselben veränderlichen 
Indexreihe angehörige Indiens in allen Gliedern mit einander vertauscht; sie bleibt aber ungeändert wenn 
man zwei der festen (ersten) Indexreihe ungehörige imlices in allen Gliedern vertauscht, d. h. sie ändert ihr 
Zeichen, wenn man für die Elemente 
"XpA*, A,- + i,.. ,l m 
die Elemente 
^ X 1 » ^2 , . . . j x,. - - 1 , [J.j . , Xr-t- 1 , . . . , Xw» 
(A | , Aq , . . . , A r | , X r _|_ j , . . . , Am = 1 , 2 , . . ■ , ri , A,. sjS n r , r > 1 ) 
setzt, sie bleibt aber ungeändert, wenn man für die Elemente 
die Elemente 
"X ( , Xu , . , , , X„, 
setzt. 
W-.x», 
(d i ^ ^ i > A'2 > • ■ > A w = 1 , 2, . . 
Als Corollare folgen aus diesen Sätzen die folgenden: 
• , ») 
Jede Determinante geraden Ranges ist gleich Null, wenn für zwei verschiedene, derselben Indexreihe un- 
gehörige Indiens alle Elemente einander gleich sind , welche an den übrigen Stellen gleiche correspomlirende 
Indiens haben, wenn also für zwei bestimmte, von einander verschiedene Werthe A , n : 
a h ’ \ — I, A r , X,--|_l , ..X, «X„ X 2 ,..., X,-- I , [l,., X+ !,■■■, im 
, (X I , X 2 , . .. , Xr - t , Xy-f-i , . . , , im — 1 , 2 , . . ., n) 
ist. 
Jede Determinante ungeraden Ranges ist gleich Null, wenn für zwei verschiedene derselben veränder- 
lichen Indexreihe ungehörige lndices alle Elemente einander gleich sind, welche an den übrigen Stellen 
gleiche correspomlirende lndices haben , wenn also für zwei bestimmte Werthe A r , p. r (?•> 1 , i r & ,j. r ) jedes 
Element: 
. ß Xj, Xj,. . . , X ,'— 1 , ir , X,.-(-| , . . X»i «X„ Xg , . . , , X,-_l , Jj-r , X».-p 1 im 
ist. 
Da eine Determinante ungeraden Ranges ihr Zeichen nicht ändert, wenn zwei der festen Indexreihe un- 
gehörige lndices in allen Gliedern mit einander vertauscht werden, so wird sie auch im Allgemeinen nicht 
verschwinden, wenn für zwei verschiedene, der festen Indexreihe ungehörige lndices alle Elemente, welche 
an den übrigen Stellen gleiche correspomlirende lndices haben, einander gleich werden. 
Setzt man in einer Determinante ungeraden Ranges alle festen lndices einander gleich, so hat man eigent- 
lich ein System von n m Grössen, von denen aber nur n m ~ l von einander verschieden sind. Da in diesem 
Falle, wie aus der obigen Definitionsgleichung sofort ersichtlich ist, stets je n ! Glieder der vorgelegten Deter- 
minante ater Ordnung und mten Ranges einander gleich werden und diese n\ Glieder auch dasselbe Vorzeichen 
haben, so verwandelt sich die Determinante in eine Determinante ater Ordnung und (»«— l)t.cn Ranges der 
n m ~ 1 verschiedenen Elemente multiplicirt mit n\. 
Die Gleichung 1) zeigt ferner, dass jede Determinante «ter Ordnung und »den Ranges als eine Summe 
von («!)"' v Determinanten »ter Ordnung und /den Ranges für m^p dargestellt werden kann. 
Summirt man nämlich in der oben angeführten Gleichung zuerst in Bezug auf x ( 0,..., x ( w ) , so erhält 
man «! Glieder, und summirt man in jedem dieser Glieder sodann in Bezug auf die übrigen v . , so erhält man 
ein Aggregat von n\ Determinanten »ter Ordnung und (m— l)ten Ranges, welches der ursprünglichen Deter 
miuante gleich ist. 
