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Leopold Gegenbauer. 
Summirt man in jedem der vorhin erwähnten n! Glieder in Bezug auf z-O, x/ 2 ), . . . , xM, so erhält man 
zunächst (»!) 2 Glieder, und wenn man sodann in jedem dieser Glieder bezüglich der noch übrigen x summirt, 
so entsteht ein Aggregat von (w!) 2 Determinanten nt er Ordnung und (m — 2)ten Ranges, welches der ursprüng- 
lichen Determinante gleich ist. 
Man sieht, dass man, in dieser Weise fortfahrend, jede Determinante mter Ordnung und »den Ranges als 
ein Aggregat von p Determinanten »ter Ordnung und pten Ranges darstellen kann. 
Aus der Gleichung 1) ersieht man auch, dass die Determinante sich nicht ändert, wenn man zwei 
Systeme von x, welche denselben unteren, aber verschiedene obere Indices haben, miteinander vertauscht. 
Man sieht ferner, dass eine Determinante geraden Ranges unverändert bleibt, wenn man ein System von x, 
welche denselben unteren, aber verschiedene obere Indices haben, mit den Zahlen 1, 2,..., n vertauscht, weil 
in diesem Falle m — 1 ungerade ist, dass aber eine Determinante ungeraden Ranges bei einer solchen Vertau- 
schung ihrenWerth ändert, indem durch dieselbe eine gewisse Hälfte der Glieder der Determinante das Zeichen 
ändert, während die andere Hälfte das ursprüngliche Zeichen behält. 
Eine Determinante geraden Ranges bleibt demnach ungeändert, wenn man in allen Gliedern sämmtliche 
zwei verschiedenen Indexreihen angehßrige Indices mit einander vertauscht. 
Eine Determinante ungeraden Ranges bleibt ungeändert, wenn man in allen Gliedern sämmtliche zwei 
verschiedenen, veränderlichen Indexreihen ungehörige Indices mit einander vertauscht, sie ändert jedoch ihren 
Werth, wenn man in allen Gliedern die der festen Indexreihe ungehörigen Indices mit dem entsprechenden 
Indices einer veränderlichen Indexreihe vertauscht. 
Ein specieller Fall des ersten Satzes ist die bekannte Eigenschaft der gewöhnlichen oder quadratischen 
Determinanten, dass dieselben ungeändert bleiben, wenn man die Horizontal- zu Verticalreihen oder um- 
gekehrt macht. 
Man sieht aus den letzten Erörterungen, dass der Werth einer Determinante ungeraden Ranges ( m ) ver 
schieden sein wird, je nachdem die eine oder die andere Indexreihe als feste Indexreihe gewählt wird. Da 
man die Wahl zwischen m Indexreihen hat, so hat eine Determinante ungeraden Ranges m verschiedene 
Wertlie, entsprechend den m verschiedenen Festsetzungen, welche man über die feste Indexreihe machen 
kann. 
Nach der auseinandergesetzten Bildungsweise der Determinanten ■«ter Ordnung und mten Ranges ist 
jede solche Determinante nicht nur eine lineare Function jedes einzelnen Elementes, sondern auch eine 
lineare, homogene Function aller jener Elemente, welche einen gleichen correspondirenden Index haben. 
Sie hat also die Gestalt: 
. i . . . = y 
1 } j • • • } im (? 1 y *2 > • * • i — 1,2,.«., 71) / _| 
Xj , Xjj , . . . xx — l , xX-j- 1 , , . . , Xro 
a *y , Xjj , ■ ■ ■ XX— t , h, XX-f I, . . . , x,„ 'h 
2 ) 
• — 1 i hj XX-j- 1 1 • • • ? Y-m 
(x [ , x^ , . . . ? XX— i , xx-hi j . . . , Ym — 1 , 2, . . . j n) 
Es ist nun sehr leicht, die Bedeutung der Grössen « zu ermitteln. Man erhält aus der Gleichung I) sofort: 
rj ö'\ Au , ... A®» 
• • • j f m l ( 2 | > *2 v • > *»» — 1 
, 2,...,«)] ax f , X X,„ 
= 
a=m v 
- (_1) 0=1 ,(.) „(>,-*) 
X 1 J** , »%1-1 ) 
r 
v(b + l) 
X| , . . . ; 
n l x (l) A 1 ) 
(b) *1 1".)*» I 
1 »1-1 
x (2) x (2) , . . . . 
^ *1 f**'f x m— i 
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■ ■ • n n, xl M) ,..., x<"> . ~ 
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