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Uber Determinanten höheren Ranges. 
Die auf der rechten Seite dieser Gleichung, stehende Summe ist die Determinante (■« ljter Ordnung und 
w*ten Ranges, welche man erhält, wenn man alle Elemente der gegebenen Determinante, welche an der ersten 
Stelle den Index X t , an der zweiten den Index X 2 ,..., an der «/ton den Index X haben, weglässt und aus den 
noch übrigen Elementen eine Determinante (»— l)ter Ordnung und raten Ranges in der durch die 
letzte Gleichung angegebenen Weise bildet. 
Alle Determinanten (n — l)ter Ordnung und «den Ranges, welche man auf die angegebene Weise erhält, 
wenn man den Grössen X,, X 2 ,..., X B nach und nach alle Werth® aus der Reihe 1 , 2 ,..., n gibt, nennt man 
Enterdeterminanten erster Ordnung. Ihre Anzahl ist, wie man sofort sieht, n m . Man hat auch die Relation: 
“X, , Xg,. , ., ~km 
' l 1 ■ ■ ' •: tm (h i u j , • • • 7 'm — E 
,n) 
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eines Elementes in aer entwickelten Determinante 
Es wurde in den obigen Zeilen der Coefficicnt irgenc 
bestimmt. Man kann nun ebenso den Coefficienten irgend eines Productes von r Elementen in der entwickelten 
Determinante bestimmen. Eine einfache Überlegung zeigt, dass der Coefficicnt des Productes 
.,X«w 
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eine Determinante «den Ranges und (n — j-)ter Ordnung ist, welche man ans der ursprünglichen Determinante 
dadurch erhält, dass man aus dem Elementensysteme alle jene Elemente, welche mit dem angeführten Producte 
einen correspondirenden Index gleich haben, weglässt und die noch übrig bleibenden zu einer Determinante 
raten Ranges und (n — r)tcr Ordnung gleichsam zusammenschiebt. Das Vorzeichen dieser Determinante ist: 
i~r t =r, o=m 
m 2xf> + v X« 
(— 1) T=l 1 T = 1,„=1 ’ 
(f- xw H x(;v._x(^...^ 1 X«) 
(Xf) xW)’ 
\ m l 
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-ß 
cc , 
das Zeichen von ist. 
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Alle Determinanten, welche man auf diese Weise erhält, nennt man IJ nterdetcrui i nanten Her Ordnung. 
Es gibt I Unterdeterminanten Her und ebenso viele (n — r)ter Ordnung. Die Unterdeterminanten (n — l)ter 
Ordnung sind die Elemente selbst. 
Aus der oben aufgestellten Relation 2) folgen sofort folgende wichtige Sätze: 
Wenn in einer Determinante Her Ordnung und raten Ranges alle Elemente «x \ x,„, welche denselben 
Index X,. haben, gleich Null sind, mit Ausnahme eines einzigen, so verwandelt sich die Determinante in eine 
Determinante desselben Ranges nächst niedrigerer Ordnung, multiplicirt mit dem erwähnten, von Null ver- 
schiedenen Elemente. 
Wenn demnach in einer Determinante Her Ordnung und raten Ranges alle Elemente e- ^ ^ \ m welche 
denselben Index X,. haben, gleich Null sind, so ist dieselbe identisch gleich Null. 
Wenn man alle Elemente einer allgemeinen Determinante, welche an einer bestimmten Stelle denselben 
correspondirenden Index haben, mit einer Grösse B multiplicirt, so wird die Determinante mit dieser Grösse 
multiplicirt. 
Sind sämmtliche Elemente einer Determinante, welche an einer bestimmten Stelle denselben correspon- 
direnden Index haben, Polynome von r Gliedern, so ist dieselbe gleich der Summe von r Determinanten 
desselben Ranges und derselben Ordnung, welche man aus der vorgelegten dadurch erhält, dass man alle 
Elemente ungeändert lässt, und nur an Stelle der zusammengesetzten Elemente jedesmal einen der Summan- 
den setzt. 
