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Leopold Gegenbauer. 
Eine Determinante geraden Ranges bleibt nngeändert, wenn man zu den Elementen, welche an einer 
bestimmten Stelle denselben correspondirenden Index haben, die mit einer beliebigen Constante multiplieirten 
entsprechenden Elemente addirt, welche einen andern gleichen, derselben Indexreihe angehörigen Index haben. 
Eine Determinante ungeraden Ranges bleibt nngeändert, wenn man zu den Elementen, welche in einer 
bestimmten, veränderlichen Indexreihe denselben correspondirenden Index haben, die mit einer beliebigen 
Constante B multiplieirten entsprechenden Elemente addirt, welche einen andern derselben Indexreihe auge- 
hörigen, gleichen correspondirenden Index haben. Addirt man hingegen zu den Elementen, welche denselben, 
der festen Indexreihe angehörigen Index haben, die mit einer beliebigen Constante B multiplieirten entsprechen 
den Elemente, welche einen andern, der festen Indexreihe angehörigen Index gemeinsam haben, so ist die neue 
Determinante im Allgemeinen von der ursprünglichen verschieden. 
Es ist stets: 
' 1 X | , Xg ^ • • • } XX — 1 ) Äj JCX-j- 1 , ■ • . j Xyft “X j , X 2 
X t , X 2 ,..., XX— 1, xx+l 
\h k ; X > l ; x | , x 2 , . 
. . , xx — 1 , h , xx+l , . . . , x?» 
, xx— l , xX-h 1 , . . . , x rn = 1 , 2 , . . . , fl] 
*m—1 
• f Xm — 1 
\h^7c; m = 2r-, x t , x 2 , . x OT — \ — 1 , 2, n\ 
Sind alle Elemente einer allgemeinen Determinante, welche denselben ersten Index dp haben mit Aus- 
nahme des Elementes ee x (*) .... glßich Null, sind ferner alle Elemente, welche mit diesem keinen cor- 
respondirenden Index gemein und denselben zweiten Index haben, ausser x (»), gleich Null, sind 
ferner alle Elemente, welche mit den zwei oben genannten Elementen keinen correspondirenden Index gemein 
und denselben dritten Index haben, gleich Null, ausser a x ( s) x (3) u. s. f., so verwandelt sich die 
Determinante in das Product: 
. m 2 X^- 
) X— i 
2 X (T) 
(X(C_^W) (A«_xW) . . . (xW- 
>/«))»* — 1 
_X(*)Yi 
4 f) . 
X (1).U, ; (2) X (3) 
■> ' m A t ’ 2 ’ 
Nun ist aber: 
. . . a~An) -An) x ( n ) 
A 1 ; a 2 >• • -i A ,„ 
r=w r=n, a=m 
m V Ä ( i r )-+- V* A^ = (w — 1) n (bn-l) 
T=t r=l , d=l 
also stets gerade und daher haben wir schliesslich für die Determinante den Werth: 
» aM— #4 ttW— xl'4 • • • (A ( L>— A^ 
i 2 2 7 - 3 3 7 ■ to m 
qS t ) xW)“ ‘ 1 
• «x[‘> , 4 1 ) , . . . , x£) ■ «xW , x' 2 > , . , xc*> • • • , xi”) , . . . , x<"> 
w i 2 7 m I 7 i ’ 1 m 
Hat man speciell: 
A^ = A« = ...= 
2 m 
so wird die Determinante, da in diesem Falle das angegebene Zeichen positiv ist, 
gleich dem Producte: 
a l, I,..., l(m) a 2 , 2,..., 2 W a n, n,..., n (m) 
