Über Determinanten höheren Rangen. 23 
Dieser Satz liefert uns auch ein Mittel, um einer Determinante »den Ranges eine höhere Ordnung zu geben, 
ohne ihren Werth zu ändern. \\ ill man nämlich eine Determinante «ter Ordnung und «den Ranges, ohne ihren 
Werth zu ändern, in eine Determinante von der Ordnung (n- t-jo) verwandeln, so hat man für alle Elemente 
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in denen ein Index grösser, als n ist, Null zu nehmen, mit Ausnahme der Elemente 
|— ff , IX— 1— ff, . . . — 1 — CT ? 
denen man den Werth 1 zu geben hat. 
Sind die Elemente einer Determinante «ter Ordnung und »den Ranges, so beschaffen, dass: 
P//| -X| , ,, Ai, jqq-|,..., x m ' ßh i a x l , x 2 ,. ■ ., ■], hi , . . . , xbH-... 
'S x ( ' 
9\ a *\ I • ■) D gl , *x+l! •! x f» 9% a,t l ! x 2 > ■ • ■ ! O 9*i X x+i> •••; *>»+.. • 
ist, wo die Zahlen h 1) A 2 ,..., sämmtlich voneinander verschieden sind, die ß, S und c beliebige 
Constante bezeichnen, so ist die Determinante, wenn sie von geradem Range ist, gleich Null für alle Werthe 
von 1, ist sie hingegen von ungeradem Range, so ist sic gleich Null für X>2. 
Dieser Satz, welcher eine Verallgemeinerung eines von Herrn F. Studnicka für quadratische Determi- 
nanten aufgestellten Theorems ist, ergibt sich leicht aus den früheren Sätzen. 
Ebenso lässt sich mit Hilfe des oben aufgestellten Zerlegungstheorems leicht folgender Satz beweisen: 
Ist für alle Werthe von s: 
x 1 j x 2 > ■ • • j *0 — 1 > 9 f XX +D • • • i *[J. — 1 , X[i , , Xm 
wenn x < # ist, so ist : 
j a H, «*,•••> («,, > 2> ..., i m = 1, 2,..., n) ~ 
y x 
Z-j a x t , . . . , xx— i , s , XX -f l , • . , f , « , Xjj.4-1 , . . . , x w ' x 
Xp,,. ; xx — 1 , xx4- !>.«•> Xjj. — l , x |j. —|— i ? , x m 
X OL 
Xi , Xg, . . . J XX — i , S , XX-f J , • • . , x^ — l , S , Xp.— 1 J • • • J Xm 
(x j , . . . ; XX — 1 j XX-f i ) • . . j Xjj. — 1 ; X| X -f !;*••> l ? - j • • ■ > 
Als specielle Fälle dieses Theorems mögen die folgenden Sätze erwähnt werden: 
Wenn in einer quadratischen Determinante alle Elemente, welche auf einer Seite der Hauptdiagonale 
stehen, gleich Null sind, so reducirt sich die Determinante auf ihr Diagonalglied. 
Wenn in einer cubischen Determinante alle Elemente, welche auf einer Seite der Hauptdiagonalebenc stellen, 
gleich Null sind, so reducirt sich die cubische Determinante auf ein Aggregat von n cubischen Determinanten 
nächst niedrigerer Ordnung. 
Man (heile die Elemente einer Determinante «ter Ordnung und »den Ranges in Gruppen in der Art, dass 
die erste Gruppe alle jene Elemente enthält, welche gegebene r t verschiedene erste Indiens, die zweite Gruppe 
jene, welche gegebene »* 2 verschiedene von den noch übrigbleibenden ersten Indiens enthält u. s. f. Die 
Summe aller r sei gleich ». Alsdann bilde man aus jeder Gruppe alle möglichen Determinanten «den Ranges 
und bezüglich iq ter, r 2 ter... Ordnung, bei denen die ersten Indiens ungeändert bleiben. Man erhält sodann aus 
der ersten Gruppe J ” j , aus der zweiten \ aus der dritten ^ n ~D~ r ^ u ' ... Determinanten. 
Es sei nun A f eine Determinante der ersten, A 2 eine Determinante der zweiten Gruppe u. s. f. 
