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Leopold G egen bau er. 
Alsdann ist: 
_ v 
j a t l , >m j (i v t m = l, 2 ,..., n) zL± A 1 A 2- • - A p 
wo die Summation sich über alle jene Producte zu erstrecken hat, welche man erhält, indem man ein beliebiges 
Aj nimmt und alsdann A 2 so wählt, dass kein Element dieser Determinante einen gleichen correspondirenden 
Index mit einem Elemente von A, hat, A 3 so, dass seine Elemente mit keinem Elemente von A t und A 2 einen 
correspondirenden Index gemein haben u. s. f, 
Es ist zunächst klar, dass jedes Glied dieses Aggregates einem Gliede der vorgelegten Determinante dem 
absoluten Betrage nach gleich ist. Man erhält ferner auch alle Glieder der Determinante, weil: 
1 (V 2 !) m— 1 . . .(r 1 
m — 1 
m — 1 
= ("!) 
m — 1 
ist und man kein Glied mehrfach erhält. 
Damit nun alle diese Glieder auch das richtige Vorzeichen haben, muss jedem solchen Producte das 
positive oder negative Vorzeichen gegeben . werden, je nachdem das Product der Hauptdiagonalglieder der 
betreffenden Determinanten A aus dem Hauptdiagonalgliede der vorgelegten Determinante 
a \, ’ ®2, • ‘ •> a n, n,...,n( m ) 
durch eine gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschungen je zweier correspondirender Indices cnstandcn ist 
Aus diesem Satze folgt: 
Wenn für r x erste Indices alle Elemente, in denen die andern Indices dieselben n — r 1 Werthe an den- 
selben Stellen haben, gleich Null sind, so verwandelt sich die vorgelegte Determinante /der Ordnung und //den 
Ranges in das Product einer Determinante r, ter und (n — rjter Ordnung und wten Ranges. 
Der oben entwickelte »Satz ist, wie man sieht die Ausdehnung des bekannten Lapace’sclien Deter- 
minantensatzes auf Determinanten höheren Ranges. 
»Sind die Elemente einer Determinante «ter Ordnung und /«t,en Ranges so beschaffen, dass: 
^/, | , Xg , . . . , X r — , » i'T* , V+| » • • * t L i n — > ■ • • ? « — — ) ~l - GC? — j , Xr , u — X).^- , u — X^H-Äm 
(X, ^ ß l ; «s = 1, 2, . . . , Xb) 
für zwei bestimmte Werthe X, , p, ist, so ist dieselbe identisch gleich Null. 
Hat nämlich irgend ein Glied der gegebenen Determinante die Form: 
«MV 
’ m— 1 
■ a„ («) 
z f ? 
*» 
i—i) (X, — 1) . d\ j, } 
x rn—l A |! > • • • 5 Al — 
ij Ay j 1 j • • 
• ' a v-\ — - B 
>i-i) 
x, , 
*$**-*>, 
h«g,..., n — X» 
._l+a,— |, 4»., «— X,-4-! -4-a,. + | , . 
. , W — 
"p 1+1 1 
X | > 
jtFr+b. 
4 ra) ,...,xW , 
2 ; ’ VI — 1 
so existirt stets auch in der entwickelten Determinante ein Glied von der Form: 
+ - 1, x CB_ 7 <) • «X, , X„... , X,.— i, ip, Vm, • • x» 
■ ■ ' a [j . | — 1 , *1, xtVi—R , . . , ■ ®fi.i , n — X 2 -)-a ? , n — X ;j -f-«. { , .. ., n — X r — ,H-a> — ,, \ r , n — Xr+ [,•••» 
... _j-t vGi+*) x (|i,+i). >, + 1 a in) (n) (») 
m — I 
