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Über Determinanten holleren Banges. 
Diese beiden Glieder haben das entgegengesetzte Vorzeichen, weil die Anzahl der Vertauschungen je 
zweier Indices, durch welche die zweite Indexcombihation aus der Reihe 1, 2,..., n entstanden ist, sich von 
der Anzahl der Vertauschungen, durch welche die erste Combination entstand, um eine ungerade Zahl unter- 
scheidet. Nun ist aber nach den über die Elemente der Determinante gemachten Voraussetzungen das zweite 
Product, absolut genommen, gleich dem ersten, daher heben sich je zwei Glieder der entwickelten Deter- 
minante auf, es ist demnach dieselbe gleich Null. 
Für cuhische Determinanten, welches die Determinanten niedrigsten Ranges sind, bei denen dieser Satz 
gilt, nimmt derselbe folgende elegante Gestalt an: 
Sind in einer cubischen Determinante die Elemente zweier paralleler Horizontalebenen so beschaffen, dass 
die Elemente der ersten Zeile der ersten Ebene einander gleich und gleich den Elementen der letzten Zeile der 
zweiten Ebene , die Elemente der zweiten Zeile der ersten Ebene einander gleich und gleich den Elementen 
der vorletzten Zeile der zweiten Ebene sind u. s. f., so ist die cubische Determinante gleich Null. 
Sind in einer Determinante wter Ordnung und »den Ranges die einzelnen Elemente Producte von r Grössen 
(r<m) in der Weise, dass: 
a . . _j( i) • jW jW 
1 ’ 23 “ * > m , kg, ) • ■ • J i'Oii , h 3 * “ 3 Aa. 1 1 ? ^Pr i • • • > Xr 
ist, wo die Zahlen p l; p 2} ...,p r -, a 2 , a r verschiedene Zahlen aus der Reihe 2, 3,..., m und so beschaffen 
sind, dass p x p T , a x ^ o T ist, so zerfällt die Determinante in ein Product von r Determinanten derselben 
Ordnung und bezüglich von dem Range, welchen die Anzahl der Indices der betreffenden b angibt. Die Anzahl 
der Grössen A , . . .,A ff) , ist natürlich gleich m — 1. Man hat in diesem Falle nach der Definitionsgleichung 1): 
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(»(O—xWWxW—xW).. .(*{*) _ *(•) ,) 
' 1 1-^2 2 ' v in — 1 m — V 
m- 1 
CxfO, ..., s, t = i, 2.. ... n , i>.) 
und daher: 
l l> l % }•••) 
(* 1 , , , . . , t m == 1 , 2 , . . , , n) 
i bW. ! 
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1 «.| 
t . % , , . , i t 
* p a ’ f ct 3 
i , ..... t 
7 Pr 7 7 °r 
(*'. '?!»•••> Ü = 1. 2 ,..., «) 
Multiplicirt man die zwei Determinanten höheren Ranges : 
ff.; / 
| M > ®2> • 
• • i **> | 
\ i j<i | (» 
1 j ig i ... , ip ; j , . . 
•Ji = 1. «) 
erste vom R: 
in ge p, 
die zweite vom 
Range q ist, mit einander, so erhält 
man 
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• ■ < ’p | ‘ | 
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1» 'j,’", ip i Ji> i 2 > ■ • 
= i, 2 «) 
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.(0 -ff.) ,•(*) 
,•(*). 
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Denkschriften der mathem.-naturw. 01. XLIII.Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. 
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