Über Determinanten höheren Ranges. 
so existirt stets auch ein Glied von der Form 
X j j Xg , • • . , Xp — i , T r , JA p , i, . . , JA p^-q — 2 Pl > Pz '"*1 1 . ** ^ , Xp , Xp-J -1 , . . . t Xp^~q — 2 ■ . • 
wo die nicht aufgeschriebenen übrigen a und b in beiden Gliedern vollkommen identisch sind. Dieses Glied 
ist durch eine ungerade Anzahl von Vertauschungen aus dem obigen hervorgegangen, cs haben daher beide 
das entgegengesetzte Vorzeichen. Man kann daher jedes Glieil der Summe mit 
1 
K — \ 
multipliciren. 
Vollzieht man in der so umgestalteten Summe die Summation in Bezug auf die Indices ,, . . 4 
so erhält man: 
p — 1? l p ? * * ’ l p-\-q 3 ? 
X|, Y.p + q-2 
^,'i 1 > ,h ■ H 
V 
zL -m^X, 
■ ■ - a n, tfh..., Üh.,i 
1 1 7 > p — 2 ’ n 
(f— «M*?— (K-1.T 
(Xj , x 3 , . . . , x . 2 i Jt >Jz > •• •> Js i *1 \ 2 i X, , . . . , X )( ; r , s : 1 , 2 n ; r > s) 
Nun ist, da q gerade ist: 
Dividirt man daher Zähler und Nenner des Productes, welches das Zeichen der einzelnen Glieder darstellt, 
durch: 
H (W s >- 2 
«jpi — 1. n ) 
und summirt sodann in Bezug auf sämmtliche i und Ä, so erhält man sofort: 
x l ’ x 2’ • • Xp+q— 2 
? P 
I (x,, Xg,..., xp +? -2; 
Als specielle Fälle des eben bewiesenen Satzes mögen die folgenden erwähnt werden: 
Das Product aus einer Determinante ptm Banges und einer quadratischen Determinante ist eine Deter- 
minante vom Bange p. 
Das Product zweier quadratischer Determinanten ist eine quadratische Determinante. 
Es seien nun beide Zahlen p und q ungerade. 
Man setze wieder: 
\=n 
_ V , 
C> t 1 H > • • ' : l P+q— 3 I a >\ J *2 1 ■ .. , X A, ip, Ip+i , . . •, 2 
X=1 
Nimmt man nun aus dem Systeme der nr+q— 2 Grössen e np+q— 3 heraus, welche man dadurch erhält, 
dass man für i irgend eine Combination der Zahlen 1, 2,..., n setzt und bildet aus derselben die Determinante 
wter Ordnung und (p-hq — 3)ten Ranges: 
1*1’ ’*>•••! tP—b b>> ’h-t-l,..., ip+q— 2 J f«, , ’jj ip-t, ip+i,...,ip+q—2 = 1, 2,..., n) 
wo durch das Überstreichen des Index i angedeutet werden soll, dass für die i eine bestimmte Combination 
der Zahlen 1, 2, . . . n gesetzt ist, so ist diese Determinante nach dem eben entwickelten Satze gleich dem 
Producte der zwei Determinanten: 
d’ 
