28 
Leopold Gegenbauer. 
X I b 
H < ’P’Jz’ 
■Js-t (i 
■ ’p'iJt <-h> 
,jq — i = 1, 2,..., n) 
da die zweite von diesen Determinanten eine Determinante geraden Ranges ist. 
Bildet man nun alle n ! Determinanten »ter Ordnung und (p-hg — 3)ten Ranges der c, welche man erhält, 
wenn man für -i alle n\ Anordnungen der Zahlen 1, 2,..., n setzt, versieht jede dieser Determinanten mit dem 
positiven oder negativen Vorzeichen, je nachdem die betreffende Anordnung der Gruppe jener Permutationen 
angehört, welche die zweiwerthigen Functionen ungeändert lassen oder nicht, und bildet sodann die alge- 
braische Summe dieser n\ Ausdrücke, so erhält man, nach einem früheren Satze die Determinante «ter Ord- 
nung und ( p-+-g — 2)ten Ranges: 
I Q 
x l> x 2 > ' • ■> X P+1 — 2 |(x, , X 2 , . . . , Xp+q—'i =1,2 
und hat daher, wenn man bedenkt, dass nach dem eben angeführten Satze auch die algebraische Summe der 
Determinanten der b gleich der Determinante <yten Ranges und «ter Ordnung: 
wird, die Gleichung: 
b |oj, 
■hi 
..Jq= 1,2,..., n) 
i Cj • 
1 = 1 a- 
.•,ip+S— 2 
1 *i 
’H \(i,,i 
oh’ 
’p+q- 
= 1, 2 
Als specieller Fall des eben abgeleiteten Theorems mag folgender Satz erwähnt werden: 
Das Product zweier cubischer Determinanten ist eine Determinante vierten Ranges. 
Durch die obigen Entwicklungen ist also der ursprünglich angeführte Satz allgemein bewiesen. 
Wie man dadurch, dass man den Summationsbuchstaben X in der Gleichung, welche die Grössen c definirt, 
an verschiedene Stellen rücken lässt, zu mannigfachen Darstellungen des Productes zweier Determinanten und 
dadurch zu einer Reihe von interessanten Identitäten gelangt, ist aus der vorigen Entwicklung leicht ersichtlich 
Indem wir uns die weitere Entwicklung der Theorie der Determinanten höheren Ranges Vorbehalten, 
wollen wir, um den Nutzen dieser interessanten Gebilde zu zeigen, in den folgenden Zeilen einige Anwen 
düngen derselben anführen. 
Es sei: 
. rp . rp , rp 
, V V -^im 
(*j , iq , • . • , im — 1 , 2 , . . . , n) 
eine Form »der Ordnung der n Veränderlichen x v a? 2 ,. . . x n . Wir wollen die aus den Coeflicienten dieser Form 
gebildete Determinante »ter Ordnung und »den Ranges: 
die Determinante dieser Form nennen. 
Transformirt man die gegebene Form durch die lineare Substitution: 
x—n 
so ist die Determinante der transforinirten Form F (y , , 
x 9* 
9n) : 
