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Leopold Gegenbauer. 
in welchem die Anzahl der Formen gleich der Anzahl der Veränderlichen ist, und nennen die Determinante 
»ter Ordnung und (w-i-l)ten Ranges: 
| a t v ü'j,..., !»+' [(«,, = 1, 2,..., n) 
die Determinante dieses Systems, so ist dieselbe eine simultane Invariante des erwähnten Formensystems. 
Man findet, indem man in analoger Weise, wie in dem letzten Falle vorgeht, dass die Determinante des 
transformirten Systems gleich der Determinante des ursprünglichen Systems multiplicirt, mit der »den Potenz 
der Substitutionsdeterminante, dass also der Index dieser Invariante m ist. 
Es hat also jedes Formensystem, in welchem die Anzahl der Formen gleich der Anzahl der Veränderlichen 
ist, eine Invariante, deren Ordnung gleich der Anzahl der Veränderlichen ist. 
Ein specieller Fall dieses Theorems ist der aus den Elementen der Invariantentheorie bekannte Satz: 
Die Determinante eines Systems von n linearen homogenen Functionen von n Veränderlichen ist eine 
Invariante. 
Bildet man die mte Emanante einer Form / (x 1 , x 2 , . . . , a? m ) von »Veränderlichen, so ist jede In- 
variante derselben eine Covariante der Form /(xj, x 2 ,.. ., x n ). 
Wir verstehen nun unter m eine gerade Zahl und setzen: 
x n ) 
Sx^i, 9 oA2 . . Sx^” 
1 ’ 2 ’ n 
= f( x X, x 2,---, x n) 
Die Determinante mten Ranges und »ter Ordnung: 
2 (| 
(f*l • • • "+ -(*» = (*) 
I f ( x t i X 1 ■ 1 x n) 
*1 j *2 j • • (*l ? ’ * • ’ > lm ==: l w) 
ist eine Covariante der Form f(x 1} x 2 ,..., x M ). 
Diese Determinante ist nämlich nach dem früher bewiesenen Satze eine Invariante der »nten Emanante 
von f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) und als solche eine Covariante der Originalform. 
Für n>, — 2 erhält man die bekannte Hesse’sche Determinante. 
Ist die Ordnung der Form gleich m , so hat man die früher erwähnte Invariante. 
Ist die Ordnung der vorgelegten Form ungerade == so hat sic eine Reihe von Covarianten, deren 
Grad gleich ist der Anzahl der Veränderlichen, und deren Ordnung bez. », 3.», 5 .»,..., (2p— l)n ist. 
Man hat, um dies zu beweisen, nur m = 2p, 2p — 2, 2p — 4,... zu setzen; alsdann ist die »?te Emanante 
eine Form gerader Ordnung, welche, wie oben bemerkt wurde, eine Invariante besitzt, deren Ordnung gleich 
der Anzahl der Veränderlichen, also gleich n ist. Die Coeffieicnten der Emanante sind lineare Functionen der 
Coefficienten der Originalform und in den Veränderlichen derselben bezüglich von den Graden 1, 3, 5,..., 
2j>—l. Hiermit ist der eben ausgesprochene Satz bewiesen. 
Jede Form ungeraden Grades von einer geraden Anzahl n von Veränderlichen hat eine Reihe von Inva- 
rianten von der Ordnung » 2 . 
Eine solche Form hat, wie eben bewiesen wurde, eine Covariante, welche in Bezug auf die Veränderlichen 
vom Grade »(2 <m- 1) und in Bezug auf die Coefficienten der Form vom Grade n ist. Ist nun n gerade, so hat 
diese Covariante eine Invariante, welche in Bezug auf die Coefficienten derselben vom Grade n, also in Bezug 
auf die Coefficienten der ursprünglichen Form vom Grade » 2 ist. Jede Invariante einer Covariante ist aber eine 
Invariante der Originalform, es hat also die vorgelegte Form eine Reihe von Invarianten vom Grade » 2 . 
Als speciellen Fall dieses Theorems erwähnen wir den Satz: 
Binäre Formen ungerader Ordnung haben stets eine Invariante vierter Ordnung. 
Hat man n Covarianten (x 1 , a? 2 ,..., x n ), ,x 2 ,..., x n ) , , f n { x \, x 2 ,---> - r ») cbier Form 
von n Veränderlichen, deren Indices bezüglich g ( , p. 2 ,.,., p n sind, und bildet man aus den mten Ableitungen 
derselben die Determinante »ter Ordnung und (m-n-l)ten Ranges: 
