CURSO DE CALCULO INFINITESIMAL 
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Esta formula sera exacta como ( 1 ) para todos los valores de 
X comprendidos entre a i y. Cuando X-y — e, los dos miem- 
bros quedan iguales cualquiera que sea el orden de pequenez 
de e, luego en el limite se tendra tambien 
f* (r) =/ p («) + J ~ ± / P + *(«)+ ■ (Y ^~- / p+ * («) + • • • 
Si p es menor que q el primer miembro es finito, pues se ha 
supuesto que f q ( X ) es la primera de las derivadas de f {X) 
que se hace infinita cuando X—y; por consiguiente, en este 
caso, el segundo miembro es una serie converjente. 
Teorema I. 
Si f q ( X ) es la primera de las derivadas de f (X) que se hace 
infinita cuando X=y, la serie f q (y) es estrictamente diverjente. 
En efecto la serie f q (y) tiene una suma infinita i la serie 
/ q_I (y) una suma finita. La razon entre los terminos de rango 
n — q+ I i n — q de la serie / q (y) es 
y~ a /" W 
n-q /—'( a ) 
I )a razon entre los terminos de rango n — q + 2 i n — q+i de 
la serie f q ~ l (y) es 
/ = y-* /"(<») n-q 
n — q+1 f n ~ 1 (a) n — q+i 
Si todos los terminos de la serie tienen el mismo signo, se 
podrd escribir, cuando n es mui grande 
. i im , =I -iW 
n 
Luego 
.. , d>(n) + i 
lim r = 1 — r — * 
n 
Por hipotesis ; la serie f q (y) es diverjente, por consiguiente 
lim <{> (n) < 1 
