CURSO DE CALCULO INFINITESIMAL 
1 1 1 
Si p es menor que q el limite de \js («) sera mayor que I 
luego la serie f p (y) es converjente; en este caso f p (X) es una 
de las integrales de f * {X). 
Si p es mayor que q el limite de (n) es negativo, luego la 
serie f p (y) es diverjente; en este caso,/P (. X ) es una de las de- 
rivadas de (X). 
COROLARIO. — Una funcion cualqniera , sus derivadas i sus in- 
tegrales tienen las mismas abcisas criticas; luego la integral de 
una funcion sera igual a la integral correspondiente del desaryollo 
de Taylor si, entre los limites de la integracion, no existen abcisas 
criticas . 
Teorema III. 
Si y es una abcisa critica de la funcion f(X); el desarrollo de 
Taylor, aplicado a esta funcion o a una cualqniera de sus deriva- 
das , da una serie converjente solo cuando X — a queda menor en 
valor absoluto que y — a. 
Sea en efecto f p (X) una cualquiera de las derivadas de 
f(X) i r 2 la razon de los terminos de rango n—p+ I i n—p del 
desarrollo; se tiene 
_ X— a f n (a) 
Y 2 n—p / n_I (a) 
O bien, si se compara al valor de r 1 deducido del desarrollo 
de/P (y). 
El limite de r , es uno, luego el limite de r 9 es . 
1 ’ b 2 y—a 
La serie f p (X) sera, por consiguiente, converjente si X — a es 
menor en valor absoluto, que y — a. 
Nota. — Sea (fig. 3) AB la curva cuya ecuacion es y=j(X); 
OC—y una abcisa critica i OD = a; OE una abcisa tal que 
ED = DC. El teorema III limitael desarrollo de f(X) segun las 
potencias de X—a, a los valores de X comprendidos entre OE 
i OC. 
