CURSO DE CALCULO INFINITESIMAL 
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2.° Si m es negativo, la integral es infinita, luego la serie es 
diverjente. 
Caso de x — 4- 1 
II. Si x= + I la razon entre dos terminos consecutivos es 
igual i de signo contrario a la que se ha obtenido en el caso de 
x=—i; las dos series se componen de los mismos terminos 
pero, para n suficientemente grande, los terminos de la serie 
(x— — i) son todos del mismo signo i los de la serie ( x = + i) 
son de signos alternados. Las reglas de converjencia de esta 
ultima serie se deducen por consiguiente inmediatamente de 
las que se han obtenido para la primera: la serie sera conver- 
jente si m es positivo; semi-converjente si m es comprendido en- 
tre o i — i ; indeterminada si m es negativo i mayor que uno en 
valor absoluto. 
Desarrollo de arc sen X 
La funcion are sen X tiene las mismas abcisas criticas que su 
1 
derivada - ■ ■ i i esta ultima tiene por abcisas criticas 
Vi-X 2 
X=±i. Supondremos, en la formula de Taylor, a = o ; el desa- 
rrollo sera converjente cuando X sea menor que uno en valor 
absoluto; se tiene ahora 
i 
J 
-X 
Luego 
are sen ;tr 
f =o-* 2 ) 
i H — 1 - X 2 + X l + 
2 2.4 
1 - 3-5 
2.4.6 
_ f x — — , _L x _l+ H 1 - 3-5 -^ 7 
J. Vi-i ! 12 3 2.4 5 + 2.4.6 7 + - 
Ya se sabe que la serie del segundo miembro de 7 es 
Vi-X 2 
estrictamente diverjente cuando x=dzi luego, para el mismo 
valor de X la serie correspondiente a are sen x es converjente; 
su suma es por otra parte igual a arc sen 1 =~~ luego 
ti 1.3 
1 + + — ^ 
2 3 24 
i , T * 3-5 
5 ^ 24*6 
+ ... 
Tomo XCIII 
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