MEMORIAS CIEXTiFICAS I L 1 TERAR 1 AS 
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La interpretation jeometrica es evidente; consideremos la se- 
rie (4), ordenada segun las potencias de X — a. esta es equiva- 
lente a la serie (1); podremos decir que esta serie (4) es con- 
verjente si el punto M que representa figuradamente la variable 
X (fig. 5) se encuentra situado en el interior de un circulo de 
centro A i de radio R; indeterrninada si el punto M viene en 
M' al esterior del mismo circulo. 
El circulo de centro A i de radio R ha sido llamado, por 
Cauchy . circulo de converjtncia, en A, de la funcion f (X . A cad a 
punto A del eje OX corresponde asi un circulo de converjen- 
cia. Se ve que todas las circunferencias de estos circulos pasan 
por un punto C', simetrico de C respecto a OX; esle punto C 
es tambien un punto critico. en efecto las sumas de las series C i 
5 no cambian, en valor absoluto, cuando <p se cambia en — q>. 
Cuando el punto M se encuentra situado sobre la circunferen- 
co nverjencia^ es decir cuando p — R la derivada 
se desarrolla bajo la forma de una serie estrictamente 
diverjente, luego Rp (R) sera finito si / es menor que q e infi- 
nito si p es mayor que q. El desarrollo de / F \a + Re ? ^)segun 
las potencias de R sera pues una serie converjente si p es me- 
nor que q e indeterrninada si p es mayor que q. 
Si P = q el desarrollo es semi converjente para todos los valo- 
res de 0 otros que 6 i — 0 , i para estos ultimos vajores de <p el 
desarrollo es estrictamente diverjente. 
APLICACIONES 
Desarrollo de arc tg x 
La funcion f{X) = arc tg X tiene mismas abcisas criticas 
que su derivada 
r (X)= 
1 
esta ultima funcion tiene dos abcisas criticas imajinarias 
A r = ± v /_ i, representados por dos puntos del eje OY a la 
distancia uno del orijen. 
