E. Occhipinti 
Memoria IV. J 
zioni coniugate delle linee di torsione (cioè delle biseltrici delle linee di curvatura); esse 
hanno le immagini sferiche ortogonali. 
In altra nota io (*) osservo che l’equazione differenziale del primo sistema di linee si 
può ottenere eguagliando a zero il jaeobiano tra la prima forma fondamentale ed il jacobiano 
prime due; quella del secondo sistema di linee eguagliando a zero- il jacoliano tra la se- 
conda forma fondamentale ed il jacobiano delle prime due, e finalmente l’equazione del 
terzo sistema di linee si può ottenere eguagliando a zero il jacobiano tra la terza forma 
fondamentale ed il jacobiano delle prime due. 
Nella presente nota studierò brevemente tre sistemi di linee della superfìcie, i quali 
si comportano, rispetto alla torsione geodetica, in modo analogo ai sistemi sopracennati 
relativamente alla curatura normale. 
Com incerò coll’ osservare che, se si indicano con fq e p., le curvature principali in un 
punto della superfìcie, il massimo e minimo di torsione geodetica in quel punto è dato da 
t 
± 
+ 
K 
dinotando H la curvatura media e K la totale (**). 
Il prodotto di queste due torsioni, che noi per brevità chiameremo torsione superfi- 
ciale nel punto in considerazione, è dunque: t i = K — H\ 
Questo prodotto avrà, nelle nostre considerazioni, la stessa parte della curvatura to- 
tale nel caso delle curvature. 
1. — Il primo sistema di linee è costituito da quelle, che hanno, in ciascun punto, la 
torsione geodetica eguale alla curvatura media della superfìcie. 
Sulle superfìcie minime (H — 0) queste linee hanno dunque in ciascun punto nulla 
la torsione geodetica, epperò coincidono con le linee di curvatura. 
Riferendosi alle notissime espressioni della torsione geodetica e della curvatura me- 
dia (***) si può scrivere subito l’equazione differenziale delle attuali linee (linee /): 
i FD — ED' ) dir \ ( (,D — ED” ) dudv - l r (GD ' — FD ") di __ 2F D'— ED"— G D ( f 
1 EG— F 1 ( Edu * - } - 2 F dii dv + G dv 2 ) 2 (EG-F 2 ) 
Pigliando come sistema u, v quello delle linee di curvatura (F = D' — 0) questa 
equazione si scrive : 
G (ED" -{- GD) dv~ — 2 | EG (ED” — GD) dudv -f- E (ED” + GD) dir = 0 
e dà : 
dz J EG ( ED” — GD + 2 | — EGDD" i 
dii G (ED” -j- GD) 
(*) Sulla torsione di alcune curve di una superficie — Periodico di Matematica . Livorno — Anno XXIX 
fase. I (settembre 191 3 j. 
(*'-) Manchi — Lezioni di Geometria differenziale — Voi. 1 ° J pag. 200 (in nota) 2 a edizione. 
(** # ) Manchi — L. c. pag. T99 e pag. 134.— Si badi però che ivi è dinotata con lì semplicemente la 
somma delle curvature principali. 
