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R. Occhipiìiti 
(Memoria IV.] 
Invece moltiplicando la prima per — F 2 e la seconda per h (F — ]/ ÈG — F 2 ) e som- 
mando, risulta, per la (5) : 
e(f— ìeg— f~) 
d 2 x d 2 x 
dudv 
—E 2 — 
X 4) 
CU' 
12 
E{f~ lEtì— F 2 ) j 
— b 
ex 
dii 
e(f—1eg—f*)\ { ?\-F 2 jyj 
clr 
dv 
Le stesse equazioni verificano y e s. — Dunque: 
Le coordinale cartesiane x, y, z di un plinto mobile di una superficie , espresse 
mediante i parametri u, v di due linee 1, verificano simultaneamente due equa- 
zioni della forma : 
a 2 B _ _a*0 _ ^ 3B , 0 3B 
dudv dv 2 ^ dii ^ dv 
( 6 ) 
g 2 B _ Wf _ , j JB 
dudv ’ dir U dv dv 
(7) 
Si noti che a e sono proporzionali a G (F -(- \EG — F 2 ) ed F 2 , ed a e fi sono 
combinazioni lineari di queste espressioni e dei simboli di Christoffel , Y simil- 
mente a e b sono proporzionali ad E ( F -f- ] EG — F 2 ) , F 2 ed a e j3' sono combinazioni 
lineari di queste espressioni e degli stessi simboli di Christoffel J'^j , . 
Viceversa, supponiamo che .r, y, s verifichino due equazioni del tipo (6), (7); dico 
allora che u, v sono linee / sulla superficie. 
Infatti, immaginando scritta, per es., la (6) con x, y, s, poi moltiplicando rispettiva- 
mente per X, Y, Z e sommando risulta : 
a-X 
d 2 x 
dudv 
bZX 
d 2 x 
dv 2 
«SA 
dx 
dii 
f psx 
dx 
dv 
ma -X 
r 
da 
= -X 
dx 
dv 
= 0, 
dunque : 
a D’ — b D" — 0; operando analogamente con la (7) si ha: 
a D’ — bD — 0 e, poiché a, b, a' sono rispettivamente proporzionali: 
a G (F -j | FjG — F 2 ) , F 2 , FJ (F — ÌEG — F 1 ' 2 ), seguono subito le (4) e (5), dunque 
le u, v sono linee /. 
2. — Come secondo sistema di linee, che indicheremo con L, considereremo quelle 
che hanno, in ciascun punto, la torsione geodetica eguale al rapporto tra la torsione su- 
perficiale e la curvatura media. Nel sistema coordinato delle linee di torsione, 1’ equazione 
di queste linee è : 
( ìl)'dv 2 - ED' dir D' 1 
Ì~EG ( Gdv 2 + Edif) ~ ~H ~ GD 
