Le sostituzioni ortogonali non cay texane 
e questa condizione è verificata, perchè tutti gli elementi del determinante sono nulli, in 
seguito alle (l). Ammettiamo ora per un momento che I l2 ... k S l2 ... k sia di specie h , mi- 
nore di k. Essa dovrà allora essere il prodotto di una sostituzione di specie / di specie h 
per una cayleyana S' : 
■il i...k. *^12...A — I r i r ì-. r h S. 
Ne segue 
i f l’ì • r h *S ì.-.k = ^ • (3) 
Orbene quando noi, con la scorta della prop. 9‘3, determiniamo la condizione neces- 
saria e sufficiente perchè il primo membro di (3) sia una sostituzione non-cayleyana, tro- 
viamo che, se il sistema degli indici (1, 2,... k) ha p elementi comuni col sistema (r lf 
r 2 ,..., r k ), la detta condizione è data dall’annullarsi di un emisimmetrico ottenuto orlando, 
con h — p linee, un minore principale Q d'ordine k — p, del determinante (2). Poiché Q ha 
gli elementi tutti nulli ed è h — p <Lk — p, la detta condizione è sempre verificata, quindi 
è assurda l’eguaglianza (3). Pertanto: 
1. — La più generale sostituzione non-cayleyana di specie k è della forma 
l\l . h I...K i 
perciò i suoi elementi sono funzioni razionali di )— (*) parametri indipendenti. 
In particolare, se k—n, si ha 
Z| 2. .n — d ) dii. ..n J 
quindi 
d\ì...n Si2.. „ • ( 2J J) J , 
cioè : 
*2 — Si ha una sola sostituzione non cayleyana di specie eguale all’ ordine, 
ed è — I . 
E quasi superfluo notare, infine, che nella classificazione che abbiamo fatto delle so- 
stituzioni ortogonali, una qualunque di esse si presenta una sola volta. 
11. Le sostituzioni ortogonali simmetriche — Di grande interesse sono le sostitu- 
zioni ortogonali simmetriche. Esse si ottengono ormai molto semplicemente. Infatti, sia T 
una sostituzione ortogonale di specie li (/t’^>0): 
r — i (2Z- 1 - d). 
Se T è simmetrica, cioè se T — T-\ , si deve avere 
/ (2Z -1 — J) = (2Zi; - J) I , 
quindi 
/Z"’ = Zi; 1 , ZI = iz_i , 
