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Michele Cipolla 
[Memoria II]. 
Poiché un emisimmetrico di ordine dispari è sempre nullo, ne segue che la sostitu- 
zione 18 è certamente non-cayleyana se I è di specie dispari. Ciò, del resto, si deduce 
anche osservando che s eie di specie dispari, la sostituzione IS è sinistrorsa. Adunque : 
'4 — Tutte le sostitusioni del tipo I A S sono non-cayleyane di prima specie. 
Una sostituzione non-cayleyana di seconda specie è della forma /, 2 ò’, ma perchè I lz 8 
sia non-cayleyana occorre e basta che si abbia (3) : 
0 
12 
= 0, 
? 0 
’ 2 i J 
ossia 
& 
^ i 2 
0. 
Una qualunque sostituzione propria e pseudosimmetrica Z nella quale sia s a —0, la 
denoteremo con Z 12 , e porremo 
„-i 
S - 9 7 
0 (2 - z - 
12 
J. 
Poiché la sostituzione non-cayleyana I 12 b’ 12 non può essere di prima specie (altri- 
menti sarebbe sinistrorsa), si conchiude che : 
’5 — Le. sostitusioni non-cayleyane di seconda specie sono tutte del tipo I 12 S 12 . 
10. Le sostituzioni non-cayleyane di specie k — Oramai è facile determinare l’espres- 
sione generale delle sostituzioni non-cayleyane di specie k , maggiore di 2. Infatti, si ha 
In. ..ii 6 = In. ..ii (In 6) — (/i 3 *S) — ... — I\ 2 ...n--z(In-vi S) , 
e le sostituzioni I uv 8, corrispondenti a tutte le combinazioni (u, v ) , a due a due 
degl’ indici 1, 2 ,... k non possono essere cayleyane, altrimenti la sostituzione 8 sa- 
rebbe di specie minore di k. 
Per conseguenza, d’accordo col risultato del precedente art., nella sostituzione Z de- 
vono essere nulli tutti gli elementi s uo corrispondenti alle dette combinazioni (u,v) degli 
indici 1, 2, .., k : 
# 12 = 8 i3 = ... = = 0. (1) 
Noi denoteremo con Z l2 ... ft una qualunque sostituzione propria e pseudosimmetrica Z 
nella quale siano verificate le condizioni (1), e porremo 
O - — ') 7" -1 / 
* 912 ... li — ^^ 12 ... K ■ 
Ci resta a dimostrare, inversamente, che la sostituzione 1^... k 8 n ... h è non-cayleyana 
di specie k. Ora perchè S l2 . ,. ft sia non-cayleyana occorre e basta (9 ’ 3) che sia 
