Le soslilusiotii ortogonali non cayleyane 
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come tipo delle sostituzioni non-cayleyane di specie k. Resta però a ricercare in quali casi 
un prodotto siffatto è una sostituzione non-cayleyana. Vedremo più sotto che la condizio- 
ne che I v , jt S sia una non-cayleyana di specie h si esprime assai semplicemente negli 
elementi della sostituzione pseudosimmetrica Z. 
Cominciamo col ricercare come si esprima negli elementi della sostituzione Z la con- 
dizione che il prodotto IS sia una sostituzione non-cayleyana, cioè la condizione 
| IS + J | = 0 . 
Poiché 
z (is -f ,/) = z (2/z- 1 — /-f .]) — 2/4 («/ — /) z == — 2/ (.; — /) z — ./] 
la condizione precedente è soddisfatta allora e solo quando si ha 
cioè quando è 
essendo 
~ (J - I)Z-J\=0, 
V 
r 0 
<S '|2 
... r (1 
r . 2 '8’n 
T h 
1 
. . . \ 
''ini 
r in 
8n% 
• . . V 
r l< 
— 
~T ^ 
— e,) , 
= 0, 
(*=1,2,...,*) 
Poiché r u è uguale a 0 o a l secondo che e, è uguale a l o a — 1 , ne segue che il 
determinante a primo membro è, salvo il segno, eguale a quel minore principale dell’emi- 
simmetrico 
0 s l2 ... S ìn 
s tl 0 ... 
• • • 0 
che è contenuto nelle righe corrispondenti agl’indici di quelle s che sono eguali a — 1. 
Adunque : 
‘3 — Se S è una sosti! astone cayleyana, posto S = 2Z~ l - .J. perchè la so- 
stituzione Ir t /-j... m S sta non cayleyana , occorre e basta che fra gli elementi z,., di 
Z abbia luogo la reiasione 
0 S r t rg 
S 0 
Sr { m 
— 0. 
£>ì’k 
• • • 0 
